Točno
19. travnja 2016. 16:57 (8 godine, 8 mjeseci)
Dokaži da za po volji odabrane prirodne brojeve
i
vrijedi nejednakost
![\frac{1}{\sqrt[n]{m}} + \frac{1}{\sqrt[m]{n}} > 1.](/media/m/a/4/6/a4694acdd31823c66163542e3070bae5.png)
%V0
Dokaži da za po volji odabrane prirodne brojeve $m$ i $n$ vrijedi nejednakost
$$\frac{1}{\sqrt[n]{m}} + \frac{1}{\sqrt[m]{n}} > 1.$$
Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili!
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
Po AG nejednakosti vrijedi:
![\frac{n+m-1}{m}=\frac{n+1+1+1+...+1}{m}\geq \sqrt[m]{n}](/media/m/e/2/e/e2e644381c31d3fe76643c720e58d598.png)
.
Dakle
![\frac{1}{\sqrt[m]{n}}\geq \frac{1}{\frac{n+m-1}{m}} = \frac{m}{n+m-1}](/media/m/c/3/a/c3a5a956222050856bdf7ca9e8ce244d.png)
te analogno
![\frac{1}{\sqrt[n]{m}} \geq \frac{n}{m+n-1}](/media/m/9/7/d/97d1efc66807ff6b7c8ac90ba9994020.png)
.
Zbrajanjem se dobiva
![\frac{1}{\sqrt[n]{m}} + \frac{1}{\sqrt[m]{n}} \geq \frac{m+n}{m+n-1} > 1](/media/m/6/f/d/6fdf9794521cf3216c6a2774c3732140.png)
što je i trebalo dokazati.
%V0
Po AG nejednakosti vrijedi:
$$\frac{n+m-1}{m}=\frac{n+1+1+1+...+1}{m}\geq \sqrt[m]{n}$$.
Dakle $$\frac{1}{\sqrt[m]{n}}\geq \frac{1}{\frac{n+m-1}{m}} = \frac{m}{n+m-1}$$
te analogno
$$\frac{1}{\sqrt[n]{m}} \geq \frac{n}{m+n-1}$$.
Zbrajanjem se dobiva
$$\frac{1}{\sqrt[n]{m}} + \frac{1}{\sqrt[m]{n}} \geq \frac{m+n}{m+n-1} > 1$$
što je i trebalo dokazati.
| 20. travnja 2016. 11:57 | ikicic | Točno |
Školjka