Točno
6. ožujka 2014. 17:23 (10 godine, 4 mjeseci)
Pokažite da za svaka dva pozitivna broja
![p](/media/m/1/c/8/1c85c88d10b11745150467bf9935f7de.png)
i
![q](/media/m/c/1/d/c1db9b1124cc69b01f9a33595637de69.png)
vrijedi nejednakost
%V0
Pokažite da za svaka dva pozitivna broja $p$ i $q$ vrijedi nejednakost $$\left(p^2+p+1\right)\left(q^2+q+1\right) \geqslant 9pq \text{.}$$
Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili!
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
Koristimo aritmetičko geometrijsku nejednakost za broje
![p^2](/media/m/f/0/f/f0fbfedc204c557f55c06eceeb024b6c.png)
,
![p](/media/m/1/c/8/1c85c88d10b11745150467bf9935f7de.png)
i
![1](/media/m/a/9/1/a913f49384c0227c8ea296a725bfc987.png)
. Te sređivanjem dobijemo
![p^2+p+1 \ge 3p](/media/m/7/7/4/7748d9ac78cd0ad19a90677e8852ce25.png)
. Isti postupak uradimo i za brojeve
![q^2](/media/m/3/6/4/364ed44bde13f671850ce46acc52fd76.png)
,
![q](/media/m/c/1/d/c1db9b1124cc69b01f9a33595637de69.png)
i
![1](/media/m/a/9/1/a913f49384c0227c8ea296a725bfc987.png)
te dobijemo
![q^2+q+1 \ge 3q](/media/m/a/5/2/a52f335782f53c902690d457b5de5072.png)
. Nakon toga pomonozimo te dvije nejednakosti gdje dobijemo
![(p^2+p+1)(q^2+q+1) \ge 9pq](/media/m/e/f/6/ef60ab781cfd386d419a8fcede17ee49.png)
što je i trebalo dokazati.
%V0
Koristimo aritmetičko geometrijsku nejednakost za broje $p^2$ , $p$ i $1$. Te sređivanjem dobijemo $p^2+p+1 \ge 3p$. Isti postupak uradimo i za brojeve $q^2$, $q$ i $1$ te dobijemo $q^2+q+1 \ge 3q$. Nakon toga pomonozimo te dvije nejednakosti gdje dobijemo $(p^2+p+1)(q^2+q+1) \ge 9pq$ što je i trebalo dokazati.
22. studenoga 2012. 01:20 | ikicic | Točno |
23. studenoga 2012. 20:22 | mljulj | Točno |
27. studenoga 2012. 15:31 | kokan | Točno |