Školjka

%V0 buduci da je jednakost homogena mozemo pretpostaviti $ abc= \frac{1}{8} $ , sada koristeci uvjet pocetnu nejednakost zapisemo ovako $$LHS=\frac{1}{\sqrt{1 + 1/a^3}} + \frac{1}{\sqrt{1 +1/b^3}} + \frac{1}{\sqrt{1 + 1/c^3 }} \geq 1.$$ lako se dokaze da opcenito vrijedi $$ \frac{1}{\sqrt{1 +t^3}} \geqslant \frac{2}{2 + t^2} $$ za svaki $ t \geqslant 0 $ sada koristimo $t=1/a$ , $t=1/b$ , $t=1/c$ pa imamo $ \displaystyle LHS \geqslant \frac{2}{2+1/a^2} + \frac{2}{2+1/b^2}+\frac{2}{2+1/c^2} $ pa zelimo pokazati $ \displaystyle \frac{2}{2+1/a^2} + \frac{2}{2+1/b^2}+\frac{2}{2+1/c^2} \geq 1 $ uvedimo supstituciju $ x= 1/a^2 $ , $ y= 1/b^2 $ , $ z= 1/c^2 $ tada nas uvjet prelazi u $ xyz=64 $ mnozenjem prethdone nejednakosti s $(2+x)(2+y)(2+z)$ dobivamo ekvivalentnu nejednakost $ \displaystyle 2 \sum\limits_{cyc}{(2+x)(2+y)} \geq (2+x)(2+y)(2+z)$ odnosno uz $ \displaystyle (a,b,c) $ sto mi oznacava $ \displaystyle \sum\limits_{sym}{ x^a y^b z^c} $ $ \displaystyle 2(2(1,0,0)+ \frac{1}{2} (1,1,0)+ 12) \geq 8+2(1,0,0)+(1,1,0)+xyz $ odnosno $ \displaystyle 4(1,0,0)+ (1,1,0)+ 24 \geq 8+2(1,0,0)+(1,1,0)+64 $ pa treba pokazati $ \displaystyle 2(1,0,0) \geq 48$ sada imamo zbog A-G nejednakosti $ \displaystyle 2(1,0,0)=4(x+y+z) \geq 4 \cdot 3 \cdot \sqrt[3]{xyz}=48$ sto je trebalo i pokazati