Točno
24. ožujka 2016. 23:58 (8 godine, 3 mjeseci)
Korisnik: IvanSincic
Zadatak: Simulacija državnog 2016. za prvi razred zadatak 5. (Sakrij tekst zadatka)
Zadatak: Simulacija državnog 2016. za prvi razred zadatak 5. (Sakrij tekst zadatka)
Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili!
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
Nazovimo dvije kružnice
i
"povezane" ako se dodiruju ili ako barem jedna od njih (WLOG
) dodiruje neku treću kružnicu koja je "povezana" s
. Skup kružnica u kojem su one sve međusobno "povezane" nazovimo "grupica". Potrebno je dokazati da je sve kružnice u svakoj "grupici" moguće obojati u 4 boje kako zadatak traži.
Dokažimo sljedeću tvrdnju:
U svakoj "grupici" postoji barem jedna kružnica koja dodiruje najviše 3 druge kružnice (u toj istoj "grupici")
Dokaz:
Pretpostavimo suprotno, postoji "grupica" u kojoj svaka kružnica dodiruje barem 4 druge kružnice (iste "grupice"). Promatrajmo jednu takvu "grupicu" i smjestimo ju u koordinatni sustav. Obratimo sada pažnju na kružnicu čije središte ima najmanju y koordinatu (ako ih ima više bilo koju od njih) i povucimo pravac paralelan s osi x kroz središte te kružnice (
). Tu kružnicu dodiruju bar 4 druge kružnice čija ću središta označiti
,
,
i
redom u smjeru kazaljke na satu oko
tako da je veličina kuta
najveća (od kuteva
te
). Primijetimo da vrijedi
(zbog toga što sve kružnice imaju jednak radijus i nikoje dvije se ne sijeku) pa je minimalna vrijednost veličine kuta
180°. Kako sve četiri kružnice moraju imati veću ili jednaku y koordinatu od kružnice oko
, zaključujemo da se to može dogoditi jedino za slučaj jednakosti, odnosno za
. No sada sa svake strane kružnice oko
imamo još dvije kružnice čija središta imaju jednaku y koordinatu i za njih vrijedi ista stvar pa će i oko njih postojati kružnice čija središta imaju jednaku y koordinatu i to će se nastaviti u beskonačnost, ali kako "grupica" nema beskonačan broj kružnica unutar sebe, to je kontradikcija te zaključujemo da u svakoj "grupici" uvijek postoji barem jedna kružnica koja dodiruje najviše 3 druge.
Promatrajmo sada neku "grupicu". Dokazali smo da postoji kružnica (WLOG
) koja dodiruje najviše tri druge kružnice unutar te grupice pa zbog toga boja kojom ćemo obojati
ovisi samo o bojama tih kružnica, a kako bojimo u četiri boje, uvijek će postojati boja kojom možemo obojati
tako da su uvjeti zadatka zadovoljeni (možemo ju "dobro" obojati). Zbog te činjenice kružnicu
možemo obojati zadnju i dovoljno je dokazati da možemo "dobro" obojati ostale kružnice u "grupici". Broj kružnica koje sada moramo "dobro" obojati smanjio se za jedan i opet imamo "grupicu" u kojoj opet postoji barem jedna kružnica koja dodiruje najviše tri druge kružnice i postupak ponavljamo; smanjujemo broj kružnica dok ne dođemo do četiri kružnice koje obojimo u 4 različite boje. Sada redom unatrag bojimo kružnice koje smo ignorirali i ovime smo obojali sve kružnice u nekoj "grupici" u 4 boje čime je ovaj zadatak gotov.
![k_1](/media/m/3/5/6/35656cbf3adb55dddd30996fc068363b.png)
![k_2](/media/m/6/a/b/6abbe24dbf6713b55498fe55ab050d06.png)
![k_1](/media/m/3/5/6/35656cbf3adb55dddd30996fc068363b.png)
![k_2](/media/m/6/a/b/6abbe24dbf6713b55498fe55ab050d06.png)
Dokažimo sljedeću tvrdnju:
U svakoj "grupici" postoji barem jedna kružnica koja dodiruje najviše 3 druge kružnice (u toj istoj "grupici")
Dokaz:
Pretpostavimo suprotno, postoji "grupica" u kojoj svaka kružnica dodiruje barem 4 druge kružnice (iste "grupice"). Promatrajmo jednu takvu "grupicu" i smjestimo ju u koordinatni sustav. Obratimo sada pažnju na kružnicu čije središte ima najmanju y koordinatu (ako ih ima više bilo koju od njih) i povucimo pravac paralelan s osi x kroz središte te kružnice (
![S](/media/m/c/6/3/c63593c3ec0773fa38c2659e08119a75.png)
![S_1](/media/m/7/7/e/77ed808eaa71be903a10ce754f90a904.png)
![S_2](/media/m/c/1/1/c11855875777bfedb764b27ccc108413.png)
![S_3](/media/m/b/5/a/b5a32762b99c5b833ab182d93fc941b4.png)
![S_4](/media/m/0/e/7/0e70eeca2a9cf1d6d5277d9b296c8f11.png)
![S](/media/m/c/6/3/c63593c3ec0773fa38c2659e08119a75.png)
![\sphericalangle S_1SS_4](/media/m/b/0/d/b0d0e0e29840d0e51429ab7716fad486.png)
![\sphericalangle S_2SS_1, \sphericalangle S_3SS_2, \sphericalangle S_4SS_3](/media/m/f/a/4/fa477b7f096288da007ff7c2a3a2bd8d.png)
![\sphericalangle S_1SS_4](/media/m/b/0/d/b0d0e0e29840d0e51429ab7716fad486.png)
![|\sphericalangle S_2SS_1|, |\sphericalangle S_3SS_2|, |\sphericalangle S_4SS_3| \geq 60^{\circ}](/media/m/8/e/a/8ea83f754459d9d63a2050d1d48ccc17.png)
![\sphericalangle S_4SS_1](/media/m/0/7/c/07cf2a529cb16af04fc9ab5f05a8869e.png)
![S](/media/m/c/6/3/c63593c3ec0773fa38c2659e08119a75.png)
![|\sphericalangle S_2SS_1|=|\sphericalangle S_3SS_2|=|\sphericalangle S_4SS_3|=60^{\circ}](/media/m/8/9/c/89cd00969091455b58fe87c066aa9010.png)
![S](/media/m/c/6/3/c63593c3ec0773fa38c2659e08119a75.png)
Promatrajmo sada neku "grupicu". Dokazali smo da postoji kružnica (WLOG
![k_1](/media/m/3/5/6/35656cbf3adb55dddd30996fc068363b.png)
![k_1](/media/m/3/5/6/35656cbf3adb55dddd30996fc068363b.png)
![k_1](/media/m/3/5/6/35656cbf3adb55dddd30996fc068363b.png)
![k_1](/media/m/3/5/6/35656cbf3adb55dddd30996fc068363b.png)