Točno
23. ožujka 2016. 12:54 (8 godine, 3 mjeseci)
Korisnik: matsimic
Zadatak: Simulacija državnog 2016. za prvi razred zadatak 2. (Sakrij tekst zadatka)
Zadatak: Simulacija državnog 2016. za prvi razred zadatak 2. (Sakrij tekst zadatka)
Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili!
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
Označimo s
tvrdnju
.
Dokazati ćemo da
, ![k \in \mathbb{Z}](/media/m/4/6/1/4617569c6d6e574dd95e44c852cc9e9f.png)
![a+b+c+d \ | \ ab-cd + k(a+b+c+d)](/media/m/7/d/4/7d45a20db7e36c169bb8e3f80a944b16.png)
![a+b+c+d \ | \ ab+ka+kb+k^2 - (cd-kc-kd+k^2)](/media/m/c/c/4/cc4675a49ebb5f074cf3ad17970a1176.png)
![(a+k)+(b+k)+(c-k)+(d-k) \ | \ (a+k)(b+k) - (c-k)(d-k)](/media/m/c/7/2/c72d9c6ff43b87fc49519e234dcd2b48.png)
Prema tome, tvrdnja je dokazana.
Uzmimo neki
za koji vrijedi
i pretpostavimo WLOG da je
.
Tada vrijedi i tvrdnja
tj. vrijedi da
.
Za svaki prost
,
vrijedi
i/ili
pa tako i
i/ili
pa zbog toga i
iz čega konačno zaključujemo da
ne može biti prost broj. Zbog toga što je suma
prirodna broja veća ili jednaka
, ne može biti jednaka ni
pa mora bit složen broj.
![T(a, b, c, d)](/media/m/9/7/6/9765ef23b78d91f5bc00ae4f65c471a5.png)
![a+b+c+d \ | \ ab-cd](/media/m/4/6/c/46cafeb2e43a113a7e7a08b27cf55f51.png)
Dokazati ćemo da
![T(a, b, c, d) \iff T(a+k, b+k, c-k, d-k)](/media/m/c/1/5/c15c29d42714cc4208830300256d5f34.png)
![k \in \mathbb{Z}](/media/m/4/6/1/4617569c6d6e574dd95e44c852cc9e9f.png)
![a+b+c+d \ | \ ab-cd + k(a+b+c+d)](/media/m/7/d/4/7d45a20db7e36c169bb8e3f80a944b16.png)
![a+b+c+d \ | \ ab+ka+kb+k^2 - (cd-kc-kd+k^2)](/media/m/c/c/4/cc4675a49ebb5f074cf3ad17970a1176.png)
![(a+k)+(b+k)+(c-k)+(d-k) \ | \ (a+k)(b+k) - (c-k)(d-k)](/media/m/c/7/2/c72d9c6ff43b87fc49519e234dcd2b48.png)
Prema tome, tvrdnja je dokazana.
Uzmimo neki
![(a, b, c, d)](/media/m/f/3/9/f39e5e2efd333d80f4c031139c9fdccd.png)
![T(a, b, c, d)](/media/m/9/7/6/9765ef23b78d91f5bc00ae4f65c471a5.png)
![d \leq c](/media/m/c/a/8/ca87a03ebc36da7a3a1b2e49159a758c.png)
Tada vrijedi i tvrdnja
![T(a+d, b+d, c-d, d-d) = T(x, y, z, 0)](/media/m/6/d/e/6de9af48fb6fa7ca8cc60265b455aea2.png)
![x + y + z \ | \ xy](/media/m/9/4/5/9455dbdb766f2d991589fc4f05772073.png)
Za svaki prost
![p](/media/m/1/c/8/1c85c88d10b11745150467bf9935f7de.png)
![p \ | \ xy](/media/m/5/b/6/5b603626317d1f9657bba8c8bf48387e.png)
![p \ | \ x](/media/m/4/5/3/4530d4d2400fa189570e6c4dbba98fb2.png)
![p \ | \ y](/media/m/2/1/b/21b249f684a2963bd7da8004d1cf8dd9.png)
![p \leq x](/media/m/d/3/d/d3d2238ef89cb6ed72adf96af01a5d02.png)
![p \leq y](/media/m/3/5/4/3548f6fc299b5db1f7fa2aef978c06cb.png)
![p < x+y+z](/media/m/7/d/e/7debf70e037617b26cc47efcd4de0b14.png)
![x+y+z=a+d+b+d+c-d = a+b+c+d](/media/m/f/4/9/f49de5b503ca1b82de71e253dc9c4ed3.png)
![4](/media/m/d/a/6/da6087359ae47e86dcb2e49565050046.png)
![4](/media/m/d/a/6/da6087359ae47e86dcb2e49565050046.png)
![1](/media/m/a/9/1/a913f49384c0227c8ea296a725bfc987.png)