Školjka

%V0 Uvjet je ekvivalentan s $ab \equiv cd \pmod {a+b+c+d}$ Očito vrijedi $(a+b+c+d)(a+b-c-d) \equiv 0 \pmod {a+b+c+d}$ pa imamo: $$(a+b)^2 \equiv (c+d)^2 \pmod {a+b+c+d}$$ Odnosno: $$a^2+2ab+b^2 \equiv c^2+2cd+d^2 \pmod {a+b+c+d}$$ Sada zbog uvjeta zadatka imamo: $$a^2-2ab+b^2 \equiv c^2-2cd+d^2 \pmod {a+b+c+d}$$ Te nakon faktorizacije: $$(a+c-b-d)(a+d-b-c) \equiv 0 \pmod {a+b+c+d}$$ Dalje nastavljamo kontradikcijom. Neka je $a+b+c+d=p$ gdje je $p$ prost broj. Očito jedan od brojeva $a+c-b-d$ i $a+d-b-c$ mora biti kongruentan $0 \pmod {p}$ te iz toga dobivamo $a+c \equiv b+d \pmod {a+b+c+d}$ odnosno $a+d \equiv b+c \pmod {a+b+c+d}$. Kako su $a+c$ i $b+d$ odnosno $a+d$ i $b+c$ prirodni brojevi manji od $p$, oni su jednaki ($a+c=b+d$ ili $a+d=b+c$) i $p$ je jednak zbroju dva jednaka prirodna broja pa je samim time $p$ paran broj, ali kako je sigurno veći od 2 i po pretpostavci prost, dobivamo kontradikciju te $a+b+c+d$ ne može biti prost.