Točno
23. ožujka 2016. 23:32 (8 godine, 3 mjeseci)
Neka su
![a,b,c](/media/m/3/6/4/36454fdb50fc50f021324b33a6b513e3.png)
različiti cijeli brojevi. Dokažite da vrijedi:
%V0
Neka su $a,b,c$ različiti cijeli brojevi. Dokažite da vrijedi: $$ 4(a^2 + b^2 + c^2) \geqslant (a + b + c)^2 + 8. $$
Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili!
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
nakon kvadriranja ove zagrade imamo
![\displaystyle 3(a^2 + b^2 + c^2) \geqslant 2(ab + bc + ac) + 8.](/media/m/b/0/5/b05a7aef2684f0da949f2c4b6a33a9c5.png)
![WLOG:c\geqslant b+1 \geqslant a+1](/media/m/2/7/2/272612da5391ec9ac40915156a5a8ccb.png)
odnosno to mozemo zapisati ovako
![a=a](/media/m/e/2/5/e25307a3105249cdcef880149cb48082.png)
pa dalje
![b=a+x](/media/m/2/2/3/22309e1765d8ac174ee834ddc4eb11c4.png)
to jest
![c=a+x+y](/media/m/d/5/6/d563380ba33e08704937dc3886ae119a.png)
za neke
![x,y \in N](/media/m/9/6/3/963cd9cbbe99d35b8c14ee523b99b265.png)
sada nakon sto ovo uvrstimo dobivamo
![\displaystyle 3a^2+4x^2+3y^2+4ax+2ay+4xy \geqslant 8](/media/m/d/5/c/d5c3732eba34a36667e702f48943d574.png)
to mozemo zapisati malo ljepse
![(1)](/media/m/2/5/e/25e5e167a3616378fc4ad422677ae0c4.png)
......
![\displaystyle (a+y)^2 + 2(a+x)^2 + 2(x+y)^2 \geqslant 8](/media/m/9/c/2/9c20b43d8e6d81db1a82e878b6c916e8.png)
sada zbog
![x,y \in N](/media/m/9/6/3/963cd9cbbe99d35b8c14ee523b99b265.png)
imamo
buduci da su
![\displaystyle (a+y)^2](/media/m/3/5/c/35c1ff33e643548f31ce07663fcc9f86.png)
i
![\displaystyle 2(a+x)^2](/media/m/2/8/6/28622c5d8cb6cd1dc887d9dcf8e22493.png)
kvadrati nekih cijelih brojeva vrijedi
![\displaystyle (a+y)^2 \geqslant 0](/media/m/5/d/c/5dcad7bbb159adb8616b66ef4d004b62.png)
i
![\displaystyle 2(a+x)^2\geqslant 0](/media/m/5/0/8/50825531a1896a578d7064e54d94326a.png)
pa vrijedi
![(1)](/media/m/2/5/e/25e5e167a3616378fc4ad422677ae0c4.png)
pokazimo jos slucaj jednakosti
![a=-1](/media/m/e/4/b/e4b01fa69afcff262de3effc8186eee5.png)
i
![x=y=1](/media/m/a/4/4/a44fb4347dfe91fe02b7517eaa05b450.png)
odnosno
![a=-1](/media/m/e/4/b/e4b01fa69afcff262de3effc8186eee5.png)
odnosno
![b=0](/media/m/1/3/1/131f99205df103890fbcb8d2d7362c2a.png)
i
![c=1](/media/m/5/3/1/5313ca3acd12b72af253c7eaa30226cf.png)
lako se vidi da se tada zaista postiže jednakost
%V0
nakon kvadriranja ove zagrade imamo
$ \displaystyle 3(a^2 + b^2 + c^2) \geqslant 2(ab + bc + ac) + 8. $$
$ WLOG:c\geqslant b+1 \geqslant a+1 $ odnosno to mozemo zapisati ovako $ a=a $ pa dalje $ b=a+x $ to jest $ c=a+x+y$ za neke $ x,y \in N $
sada nakon sto ovo uvrstimo dobivamo
$ \displaystyle 3a^2+4x^2+3y^2+4ax+2ay+4xy \geqslant 8 $$
to mozemo zapisati malo ljepse
$ (1) $ ...... $ \displaystyle (a+y)^2 + 2(a+x)^2 + 2(x+y)^2 \geqslant 8 $$ sada zbog $ x,y \in N $ imamo $ \displaystyle 2(x+y)^2 \geqslant 8 $$
buduci da su $ \displaystyle (a+y)^2 $ i $ \displaystyle 2(a+x)^2 $ kvadrati nekih cijelih brojeva vrijedi
$ \displaystyle (a+y)^2 \geqslant 0 $ i $ \displaystyle 2(a+x)^2\geqslant 0 $ pa vrijedi $ (1) $ pokazimo jos slucaj jednakosti $ a=-1 $ i $ x=y=1 $ odnosno
$a=-1 $ odnosno $ b=0 $ i $ c=1 $ lako se vidi da se tada zaista postiže jednakost