Školjka

%V0 nakon kvadriranja ove zagrade imamo $ \displaystyle 3(a^2 + b^2 + c^2) \geqslant 2(ab + bc + ac) + 8. $$ $ WLOG:c\geqslant b+1 \geqslant a+1 $ odnosno to mozemo zapisati ovako $ a=a $ pa dalje $ b=a+x $ to jest $ c=a+x+y$ za neke $ x,y \in N $ sada nakon sto ovo uvrstimo dobivamo $ \displaystyle 3a^2+4x^2+3y^2+4ax+2ay+4xy \geqslant 8 $$ to mozemo zapisati malo ljepse $ (1) $ ...... $ \displaystyle (a+y)^2 + 2(a+x)^2 + 2(x+y)^2 \geqslant 8 $$ sada zbog $ x,y \in N $ imamo $ \displaystyle 2(x+y)^2 \geqslant 8 $$ buduci da su $ \displaystyle (a+y)^2 $ i $ \displaystyle 2(a+x)^2 $ kvadrati nekih cijelih brojeva vrijedi $ \displaystyle (a+y)^2 \geqslant 0 $ i $ \displaystyle 2(a+x)^2\geqslant 0 $ pa vrijedi $ (1) $ pokazimo jos slucaj jednakosti $ a=-1 $ i $ x=y=1 $ odnosno $a=-1 $ odnosno $ b=0 $ i $ c=1 $ lako se vidi da se tada zaista postiže jednakost