Školjka

%V0 skica [img attachment=1 width=300px height=300px] Smjestimo taj pravokutnik u koordinatni sustav. Neka je $A(0,0)$, $B(a,0)$, $C(a,1)$ i $D(0,1)$. Lako nalazimo polovišta dužina $\overline{DB}$, $\overline{CD}$ i $\overline{AD}$ . To su, redom, $S(\frac{a}{2}, \frac{1}{2})$, $M(\frac{a}{2},1)$ i $N(0,\frac{1}{2})$. Sada možemo izračunati koeficijent smjera pravca $BD$. To je prema formuli: $\frac{0-1}{a-0}=-\frac{1}{a}$ S obzirom da je simetrala neke dužine okomita na nju, ako je $k$ koeficijent smjera pravca na kojem leži ta dužina, onda je $-\frac{1}{k} $ koeficijent smjera simetrale. (Tu tvrdnju smatram dovoljno poznatom, i ne namjeravam ju dokazivati) Dakle, neka je ta simetrala neki pravac $s$. Znamo da mu je koeficijent $-\frac{1}{-\frac{1}{a}}=a$. Također znamo da prolazi točkom $S(\frac{a}{2},\frac{1}{2})$, te možemo izračunati njegov odsječak na $y$-osi. Neka je taj odsječak jednak $l_s$. Znamo da vrijedi: $a\cdot \frac{a}{2}+l_s=\frac{1}{2}$ $\iff l_s =\frac{1-a^2}{2}$. Sada znamo jednadžbu pravca $s... y=ax+\frac{1-a^2}{2}$ Sljedeći je korak izračunavanje koordinata točaka $E$ i $F$.. Znamo da točka $F$ se nalazi na pravcima $x=a$ i $s$. Tako možemo izračunati : $ y_f =a\cdot a + \frac{1-a^2}{2}=\frac{2a^2+1-a^2}{2}=\frac{a^2+1}{2}$ Odnosno $F(a, \frac{a^2+1}{2})$. Točka $E$ se nalazi na pravcu $y=0$ i pravcu $s$. Treba izračunati $x_e$. Vrijedi: $0=a\cdot x_e + \frac{1-a^2}{2}$ $x_e=\frac{a^2-1}{2a}=\frac{a-\frac{1}{a}}{2}$ $E(\frac{a-\frac{1}{a}}{2},0)$. Sada po prijašnjoj formuli izračunavamo koeficijente smjera pravaca $FM$ i $EN$: $k_{FM}=\frac{\frac{a^2+1}{2}-1}{a-\frac{a}{2}}=a-\frac{1}{a}$ Analogno: $k_{EN}=\frac{0-\frac{1}{2}}{\frac{a-\frac{1}{a}}{2}-0}=-\frac{1}{a-\frac{1}{a}}$ Sada lako primjećujemo : $k_{FM}=-\frac{1}{k_{EN}}$ $\iff FM \perp EN$