Točno
25. ožujka 2016. 18:07 (8 godine, 3 mjeseci)
Korisnik: Daniel_Sirola
Zadatak: Simulacija državnog 2016. za prvi razred zadatak 4. (Sakrij tekst zadatka)
Zadatak: Simulacija državnog 2016. za prvi razred zadatak 4. (Sakrij tekst zadatka)
Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili!
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
skica
{{ Greška pri preuzimanju img datoteke. (Nevaljan broj?) }}
Smjestimo taj pravokutnik u koordinatni sustav.
Neka je
,
,
i
.
Lako nalazimo polovišta dužina
,
i
.
To su, redom,
,
i
.
Sada možemo izračunati koeficijent smjera pravca
.
To je prema formuli:![\frac{0-1}{a-0}=-\frac{1}{a}](/media/m/7/6/5/765afb3aac66707679aa96d32148c761.png)
S obzirom da je simetrala neke dužine okomita na nju, ako je
koeficijent smjera pravca na kojem leži ta dužina, onda je
koeficijent smjera simetrale. (Tu tvrdnju smatram dovoljno poznatom, i ne namjeravam ju dokazivati)
Dakle, neka je ta simetrala neki pravac
.
Znamo da mu je koeficijent
.
Također znamo da prolazi točkom
, te možemo izračunati njegov odsječak na
-osi.
Neka je taj odsječak jednak
.
Znamo da vrijedi:
![a\cdot \frac{a}{2}+l_s=\frac{1}{2}](/media/m/0/c/e/0ce08a7074d2f58860896e1ecfbbcf95.png)
.
Sada znamo jednadžbu pravca![s... y=ax+\frac{1-a^2}{2}](/media/m/f/6/2/f62f6df111fbc73909fc155a0f163352.png)
Sljedeći je korak izračunavanje koordinata točaka
i
..
Znamo da točka
se nalazi na pravcima
i
.
Tako možemo izračunati :![y_f =a\cdot a + \frac{1-a^2}{2}=\frac{2a^2+1-a^2}{2}=\frac{a^2+1}{2}](/media/m/0/c/1/0c15893343f175f3da2282b5ece7ce06.png)
Odnosno
.
Točka
se nalazi na pravcu
i pravcu
.
Treba izračunati
.
Vrijedi:![0=a\cdot x_e + \frac{1-a^2}{2}](/media/m/4/d/9/4d9c120368be8c1323d701ca49b95e07.png)
![x_e=\frac{a^2-1}{2a}=\frac{a-\frac{1}{a}}{2}](/media/m/b/a/5/ba5b65cd77fe6375dff7b18e99159c16.png)
.
Sada po prijašnjoj formuli izračunavamo koeficijente smjera pravaca
i
:
![k_{FM}=\frac{\frac{a^2+1}{2}-1}{a-\frac{a}{2}}=a-\frac{1}{a}](/media/m/d/3/0/d3003646601b862d34d6e704da86e02c.png)
Analogno:
![k_{EN}=\frac{0-\frac{1}{2}}{\frac{a-\frac{1}{a}}{2}-0}=-\frac{1}{a-\frac{1}{a}}](/media/m/a/1/2/a12409381a619bf7c6c2bda9954454f1.png)
Sada lako primjećujemo :![k_{FM}=-\frac{1}{k_{EN}}](/media/m/8/d/5/8d5cc05aa06b6e36f27c06abd450e152.png)
{{ Greška pri preuzimanju img datoteke. (Nevaljan broj?) }}
Smjestimo taj pravokutnik u koordinatni sustav.
Neka je
![A(0,0)](/media/m/5/f/3/5f32da3c34ca453a55b7e43967d1ba5e.png)
![B(a,0)](/media/m/f/3/d/f3df2ea898f40944e2d9736f5d76898c.png)
![C(a,1)](/media/m/5/3/2/532563db250718e09d1df9f56f751060.png)
![D(0,1)](/media/m/a/0/5/a05d3650534873fe87bac86be7f5d0ee.png)
Lako nalazimo polovišta dužina
![\overline{DB}](/media/m/5/4/c/54ce0e9ace40478bd6fd1b4235465f01.png)
![\overline{CD}](/media/m/3/3/8/338870e40f3ea7992d83158230115a5f.png)
![\overline{AD}](/media/m/3/0/3/303be34ac7d7fd6c29748e4abc4ee400.png)
To su, redom,
![S(\frac{a}{2}, \frac{1}{2})](/media/m/2/0/7/207974d9cd55393e7079089748f2473c.png)
![M(\frac{a}{2},1)](/media/m/5/1/f/51f904aec78b743c9b58c47e8e2dd779.png)
![N(0,\frac{1}{2})](/media/m/d/f/d/dfd2f2e932c18c589465d68742c27e43.png)
Sada možemo izračunati koeficijent smjera pravca
![BD](/media/m/1/1/f/11f65a804e5c922ee28a53b1df04d138.png)
To je prema formuli:
![\frac{0-1}{a-0}=-\frac{1}{a}](/media/m/7/6/5/765afb3aac66707679aa96d32148c761.png)
S obzirom da je simetrala neke dužine okomita na nju, ako je
![k](/media/m/f/1/3/f135be660b73381aa6bec048f0f79afc.png)
![-\frac{1}{k}](/media/m/4/3/1/431d4937e6f0bd629dca53d9469e078b.png)
Dakle, neka je ta simetrala neki pravac
![s](/media/m/9/0/8/908014cbadb69e42261a56b450a375b9.png)
Znamo da mu je koeficijent
![-\frac{1}{-\frac{1}{a}}=a](/media/m/7/1/d/71d3301b73948dc4a77af38068426c56.png)
Također znamo da prolazi točkom
![S(\frac{a}{2},\frac{1}{2})](/media/m/f/2/9/f296d5c8afa51d524f15365e2dced528.png)
![y](/media/m/c/c/0/cc082a07a517ebbe9b72fd580832a939.png)
Neka je taj odsječak jednak
![l_s](/media/m/a/b/1/ab166da401a0b762cf347beda216bdd2.png)
Znamo da vrijedi:
![a\cdot \frac{a}{2}+l_s=\frac{1}{2}](/media/m/0/c/e/0ce08a7074d2f58860896e1ecfbbcf95.png)
![\iff l_s =\frac{1-a^2}{2}](/media/m/a/d/2/ad25ac3ad765a74859e705d59e809104.png)
Sada znamo jednadžbu pravca
![s... y=ax+\frac{1-a^2}{2}](/media/m/f/6/2/f62f6df111fbc73909fc155a0f163352.png)
Sljedeći je korak izračunavanje koordinata točaka
![E](/media/m/8/b/0/8b01e755d2253cb9a52f9e451d89ec11.png)
![F](/media/m/3/e/8/3e8bad5df716d332365fca76f53c1743.png)
Znamo da točka
![F](/media/m/3/e/8/3e8bad5df716d332365fca76f53c1743.png)
![x=a](/media/m/8/1/7/8179a4772922e05457d40613d62db448.png)
![s](/media/m/9/0/8/908014cbadb69e42261a56b450a375b9.png)
Tako možemo izračunati :
![y_f =a\cdot a + \frac{1-a^2}{2}=\frac{2a^2+1-a^2}{2}=\frac{a^2+1}{2}](/media/m/0/c/1/0c15893343f175f3da2282b5ece7ce06.png)
Odnosno
![F(a, \frac{a^2+1}{2})](/media/m/0/d/e/0de08420e7c4bd91228b645836c4d4b2.png)
Točka
![E](/media/m/8/b/0/8b01e755d2253cb9a52f9e451d89ec11.png)
![y=0](/media/m/3/1/3/313c785b69a2965d5eb1b358bea8e41c.png)
![s](/media/m/9/0/8/908014cbadb69e42261a56b450a375b9.png)
Treba izračunati
![x_e](/media/m/5/8/1/581ece8c08904b9b2af28888aeae4988.png)
Vrijedi:
![0=a\cdot x_e + \frac{1-a^2}{2}](/media/m/4/d/9/4d9c120368be8c1323d701ca49b95e07.png)
![x_e=\frac{a^2-1}{2a}=\frac{a-\frac{1}{a}}{2}](/media/m/b/a/5/ba5b65cd77fe6375dff7b18e99159c16.png)
![E(\frac{a-\frac{1}{a}}{2},0)](/media/m/d/0/0/d00259c7b0b8b9fe18eb18e2f782483c.png)
Sada po prijašnjoj formuli izračunavamo koeficijente smjera pravaca
![FM](/media/m/5/7/d/57d8386a345f7f01c20faf11567ac3d7.png)
![EN](/media/m/8/a/7/8a738873fd9bb9b92a40601aa803337f.png)
![k_{FM}=\frac{\frac{a^2+1}{2}-1}{a-\frac{a}{2}}=a-\frac{1}{a}](/media/m/d/3/0/d3003646601b862d34d6e704da86e02c.png)
Analogno:
![k_{EN}=\frac{0-\frac{1}{2}}{\frac{a-\frac{1}{a}}{2}-0}=-\frac{1}{a-\frac{1}{a}}](/media/m/a/1/2/a12409381a619bf7c6c2bda9954454f1.png)
Sada lako primjećujemo :
![k_{FM}=-\frac{1}{k_{EN}}](/media/m/8/d/5/8d5cc05aa06b6e36f27c06abd450e152.png)
![\iff FM \perp EN](/media/m/6/3/a/63af3f396204236e53565e821bcc7396.png)
Ocjene: (2)
Komentari:
Daniel_Sirola, 25. ožujka 2016. 19:59
Zadnja promjena: Daniel_Sirola, 25. ožujka 2016. 19:59
Daniel_Sirola, 25. ožujka 2016. 19:52
ikicic, 25. ožujka 2016. 18:22
Daniel_Sirola, 25. ožujka 2016. 18:09