Točno
27. ožujka 2016. 10:12 (8 godine, 3 mjeseci)
Neka su
![h_1](/media/m/4/0/5/405fe34684b6152379543cc1eecd9f00.png)
,
![h_2](/media/m/5/d/d/5dd34799df33b7962251de451023a5a5.png)
,
![h_3](/media/m/2/d/3/2d322048c3839657a6b6f35329bfb154.png)
duljine visina trokuta
![ABC](/media/m/a/c/7/ac75dca5ddb22ad70f492e2e0a153f95.png)
na stranice
![\overline{BC}](/media/m/8/8/1/8818caad7d36e134c54122cbf46f1cd9.png)
,
![\overline{CA}](/media/m/c/e/9/ce9fb8497710464615e1d00d148c5663.png)
,
![\overline{AB}](/media/m/a/1/a/a1a42310b1a849922197735f632d57ec.png)
, redom, a
![u](/media/m/8/a/3/8a31c0578d8711cccb064f92f92e19ca.png)
,
![v](/media/m/3/d/c/3dc3003f5c10543e81344921fc032374.png)
,
![w](/media/m/a/7/a/a7abf250ebf14efa424fde966849d5f9.png)
udaljenosti točke
![M](/media/m/f/7/f/f7f312cf6ba459a332de8db3b8f906c4.png)
iz unutrašnjosti trokuta od stranica
![\overline{BC}](/media/m/8/8/1/8818caad7d36e134c54122cbf46f1cd9.png)
,
![\overline{CA}](/media/m/c/e/9/ce9fb8497710464615e1d00d148c5663.png)
,
![\overline{AB}](/media/m/a/1/a/a1a42310b1a849922197735f632d57ec.png)
. Dokažite:
![\frac{h_1}{u} + \frac{h_2}{v} + \frac{h_3}{w} \geq 9,](/media/m/a/6/d/a6d3315ee370d982aae504ffe568d5f1.png)
![h_1h_2h_3 \geq 27uvw,](/media/m/8/3/c/83cf402bb1aa9289255b84c3573b7307.png)
%V0
Neka su $h_1$, $h_2$, $h_3$ duljine visina trokuta $ABC$ na stranice $\overline{BC}$, $\overline{CA}$, $\overline{AB}$, redom, a $u$, $v$, $w$ udaljenosti točke $M$ iz unutrašnjosti trokuta od stranica $\overline{BC}$, $\overline{CA}$, $\overline{AB}$. Dokažite:
$$\frac{h_1}{u} + \frac{h_2}{v} + \frac{h_3}{w} \geq 9,$$
$$h_1h_2h_3 \geq 27uvw,$$
$$(h_1-u)(h_2-v)(h_3-w) \geq 8uvw.$$
Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili!
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
Ako oznacimo sa
![P_1](/media/m/a/8/8/a886eaf7832af6b6b5f56f0ec9a97490.png)
,
![P_2](/media/m/e/c/8/ec8662164615835e6c2307d72a487ec8.png)
,
![P_3](/media/m/7/a/2/7a2130873c871d58d58e11256ec758be.png)
redom dvostruke povrsine trokuta
![BMC](/media/m/1/3/e/13e8443f7a40fc4d03204aef5b6a1e46.png)
,
![CMA](/media/m/2/d/e/2de008a0f3e1df229109e6a167777841.png)
i
![AMB](/media/m/5/d/6/5d66cf23bd0aba98f4730dc9c256f9a9.png)
a sa
![P](/media/m/9/6/8/968d210d037e7e95372de185e8fb8759.png)
dvostruku povrsinu trokuta
![ABC](/media/m/a/c/7/ac75dca5ddb22ad70f492e2e0a153f95.png)
vrijedi
![P_1+P_2+P_3=P](/media/m/9/f/d/9fda75d6ac5f6f0ca7f1e763c444aab4.png)
koristit cemo
![P=a h_1=b h_2=c h_3](/media/m/f/0/3/f0362c24dc65bf9f677f32827a4d1c59.png)
![(1)](/media/m/2/5/e/25e5e167a3616378fc4ad422677ae0c4.png)
...
![\displaystyle \frac{h_1}{u} + \frac{h_2}{v} + \frac{h_3}{w} \geq 9,](/media/m/f/5/f/f5f95223d4a16a3fd8e3f841d80babea.png)
prosirivanjem prvog razlomka sa
![a](/media/m/6/d/2/6d2832265560bb67cf117009608524f6.png)
drugog sa
![b](/media/m/e/e/c/eec0d7323095a1f2101fc1a74d069df6.png)
treceg sa
![c](/media/m/e/a/3/ea344283b6fa26e4a02989dd1fb52a51.png)
dobivamo
izlucivannjem
![P](/media/m/9/6/8/968d210d037e7e95372de185e8fb8759.png)
i koristenjem
![P_1+P_2+P_3=P](/media/m/9/f/d/9fda75d6ac5f6f0ca7f1e763c444aab4.png)
dobivamo
![\displaystyle (P_1+P_2+P_3) ( \frac{1}{P_1} + \frac{1}{P_2} + \frac{1}{P_3} ) \geq 9,](/media/m/e/e/9/ee99fdf94f6c88f13f08a1a78800c9be.png)
sto vrijedi zbog A-H nejednakosti
![(2)](/media/m/6/6/a/66ab623e63546b6c830c0a02c99d5444.png)
...
![\displaystyle h_1h_2h_3 \geq 27uvw,](/media/m/e/d/6/ed6819c05857334ae3deeecc5e2e677e.png)
mnozenjem sa
![abc](/media/m/6/3/a/63a597ddc2672a2e68010f67bdaa60bf.png)
dobivamo
![\displaystyle P^3 \geq 27P_1 P_2 P_3,](/media/m/7/2/b/72b20c646e9c58dc4c597b967a147dca.png)
sada izvadimo
![3](/media/m/b/8/2/b82f544df38f2ea97fa029fc3f9644e0.png)
korjen i dobijemo
![\displaystyle P_1+P_2+P_3=P \geq 3 \cdot \sqrt[3]{P_1 P_2 P_3}](/media/m/4/d/d/4dde0c8d009c60f019ded63f909aeea7.png)
a ovo vrijedi po A-G nejednakosti
![(3)](/media/m/8/7/a/87a020075192982539b68596ff795f87.png)
...
![\displaystyle (h_1-u)(h_2-v)(h_3-w) \geq 8uvw.](/media/m/7/2/4/724b68d479ec4e876a297b2d9335469c.png)
nakon sto sve izmnozimo i prebacimo sve na stranu na kojoj je pozitivno dobijemo
sada koristenjem
![(2)](/media/m/6/6/a/66ab623e63546b6c830c0a02c99d5444.png)
po A-G nejednakosti vrijedi
pa moramo samo pokazati
mozenjem sa
![abc](/media/m/6/3/a/63a597ddc2672a2e68010f67bdaa60bf.png)
dobivamo
![\displaystyle P^3 \geq P^2 (P_1+P_2+P_3)](/media/m/c/6/a/c6accb4a29228908567811a1086c7e25.png)
gdje cak vrijedi jednakost zbog
%V0
Ako oznacimo sa $ P_1 $ , $ P_2 $ , $ P_3 $ redom dvostruke povrsine trokuta $ BMC $ , $ CMA $ i $ AMB $ a sa $ P $ dvostruku povrsinu trokuta $ ABC $ vrijedi
$ P_1+P_2+P_3=P $ koristit cemo $ P=a h_1=b h_2=c h_3 $
$ (1) $ ... $ \displaystyle \frac{h_1}{u} + \frac{h_2}{v} + \frac{h_3}{w} \geq 9,$$
prosirivanjem prvog razlomka sa $ a $ drugog sa $ b $ treceg sa $ c $ dobivamo
$ \displaystyle \frac{P}{P_1} + \frac{P}{P_2} + \frac{P}{P_3} \geq 9,$$
izlucivannjem $ P $ i koristenjem $ P_1+P_2+P_3=P $ dobivamo
$ \displaystyle (P_1+P_2+P_3) ( \frac{1}{P_1} + \frac{1}{P_2} + \frac{1}{P_3} ) \geq 9,$$ sto vrijedi zbog A-H nejednakosti
$ (2) $ ... $ \displaystyle h_1h_2h_3 \geq 27uvw,$$ mnozenjem sa $ abc $ dobivamo
$ \displaystyle P^3 \geq 27P_1 P_2 P_3,$$ sada izvadimo $ 3 $ korjen i dobijemo
$ \displaystyle P_1+P_2+P_3=P \geq 3 \cdot \sqrt[3]{P_1 P_2 P_3} $ a ovo vrijedi po A-G nejednakosti
$ (3) $ ... $ \displaystyle (h_1-u)(h_2-v)(h_3-w) \geq 8uvw.$$ nakon sto sve izmnozimo i prebacimo sve na stranu na kojoj je pozitivno dobijemo
$ \displaystyle h_1 h_2 h_3+h_1 v w+h_2 uw+h_3 uv \geq 9uvw +h_1 h_2 w+h_1 h_3 v+h_2 h_3 u $
sada koristenjem $ (2) $ po A-G nejednakosti vrijedi
$ \displaystyle h_1 v w+h_2 uw+h_3 uv \geq 9uvw $
pa moramo samo pokazati
$ \displaystyle h_1 h_2 h_3 \geq h_1 h_2 w+h_1 h_3 v+h_2 h_3 u $
mozenjem sa $ abc $ dobivamo
$ \displaystyle P^3 \geq P^2 (P_1+P_2+P_3) $ gdje cak vrijedi jednakost zbog $ P_1+P_2+P_3=P $
4. svibnja 2016. 14:27 | grga | Točno |