Školjka

%V0 Idemo na dokaz kontradikcijom. Traži se da pokažemo kako postoji $\geq2$ parnih brojeva, mi ćemo pokazati da ne može postojati $<2$ parnih brojeva iz čega direktno slijedi tvrdnja zadatka. Tada razlikujemo dva slučaja 1) svi brojevi su neparni, tj. 0 parnih tada za svaki $n_i$ postoji $a_i\in Z$ takav da $n_i=2a_i + 1$ $\sum_{i=1}^{1997} (n_i^2) = \sum_{i=1}^{1997} (4a_i^2 + 4a_i + 1) = 1997+\sum_{i=1}^{1997} 4(a_i^2+a_i)=4a_{1998}^2+4a_{1998}+1$ $1996 + \sum_{i=1}^{1997} 4(a_i^2 + a_i) = 4(a_{1998}^2+a_{1998})$ $249 + \sum_{i=1}^{1997} a_i^2+a_i = a_{1998}^2+a_{1998}$ kvadrat nekog broja je iste parnosti kao i taj broj pa im je zbroj uvijek paran, slijedi $RHS \equiv a_{1998}^2+a_{1998} \equiv 0 \pmod 2$ $LHS \equiv 249 + \sum_{i=1}^{1997} a_i^2+a_i \equiv 1 + 0 \equiv 1 \pmod 2$ slijedi $1\equiv 0$ pa imamo kontradikciju 2) jedan broj je paran imamo dva podslučaja, paran broj može biti na $LHS$ i na $RHS$ 2.1) paran broj na $LHS$ $RHS \equiv n_{1998}^2 \equiv 1 \pmod 2$ Na $LHS$ imamo tada 1996 neparnih brojeva i 1 paran. Pošto neparnih brojeva ima parno tj. $2|1996$, zbroj im je paran. Slijedi da je zbroj 1996 neparnih i 1 parnog isti $\mod 2$ kao i zbroj parnog i parnog što je paran broj tj. $RHS \equiv 0 \pmod 2$ slijedi $0 \equiv 1$ pa imamo kontradikciju i zaključujemo da je ovaj podslučaj nemoguć 2.2) paran broj na $RHS$ $RHS \equiv n_{1998}^2 \equiv 0 \pmod 2$ Na $LHS$ imamo zbroj 1997 neparnih, koji je neparan jer je broj neparnih brojeva u zbroju (1997) neparan tj. $LHS \equiv 1 \pmod 2$ slijedi $1 \equiv 0$ pa zaključujemo da je i ovaj podslučaj nemoguć te smo gotovi.