Točno
10. travnja 2016. 16:28 (8 godine, 3 mjeseci)
Neka je
![f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}](/media/m/3/1/5/315850f3afc88fd1c36b0d808e29d648.png)
takva da je
![x + f(x)=f(f(x)) \forall x \in \mathbb{R}](/media/m/b/9/6/b9680e235049e78b7792bee028ee566a.png)
. Nađite sve
![x](/media/m/f/1/8/f185adeed9bd346bc960bca0147d7aae.png)
takve da
![f(f(x))=0](/media/m/7/a/5/7a527066da5282c775be02c26caf7c30.png)
.
%V0
Neka je $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ takva da je $x + f(x)=f(f(x)) \forall x \in \mathbb{R}$. Nađite sve $x$ takve da $f(f(x))=0$.
Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili!
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
Neka je
![f(0)=c](/media/m/7/8/7/787ccc0e673d4bed7baf5a731c2d2741.png)
. Uvrštavanjem
![x=0](/media/m/d/c/d/dcde63c2cfa9af2c4a5f2b3f4b7baa02.png)
u uvjet dobijemo
![c=f(c)](/media/m/8/f/a/8fa7e496713f56ee78669ba5b10e98f0.png)
. Uvrstimo li sada
![c](/media/m/e/a/3/ea344283b6fa26e4a02989dd1fb52a51.png)
umjesto
![x](/media/m/f/1/8/f185adeed9bd346bc960bca0147d7aae.png)
u uvjet, imamo:
![c+f(c)=f(f(c))](/media/m/f/1/3/f13402306a876fa4ef0781ef02bb2ba8.png)
Odnosno:
![c+c=f(c)=c](/media/m/c/9/8/c98367fb98f006cd249159e0135df8f5.png)
Pa je
![c=0=f(0)](/media/m/6/6/e/66ef091dc2abae26ce3ae1eeac78c4d4.png)
. Neka broj
![k](/media/m/f/1/3/f135be660b73381aa6bec048f0f79afc.png)
zadovoljava
![f(f(k))=0](/media/m/0/e/d/0ed53cf2586bebe32e2ea8343b1716b4.png)
. Vrijedi
![0=f(f(k))=k+f(k)](/media/m/8/4/f/84f5a720fbabd63e2a278b72c408fd34.png)
te je iz toga
![f(k)=-k](/media/m/b/f/0/bf0674ba4455763fb3664cdb6fe65fee.png)
. Sada je:
![f(f(k))=f(-k)=0](/media/m/0/5/f/05fecac2e1d9b98b198a826ea0dd6b35.png)
Te nakon što uzmemo funkciju lijeve i desne strane:
![f(f(-k))=f(0)=0](/media/m/9/8/2/98292be936fcc169ebc470acfaf2bd77.png)
Zbog uvjeta zadatka imamo
![0=f(f(-k))=-k+f(-k)](/media/m/8/7/a/87afb48f12782fe86eea573357136913.png)
pa je
![f(-k)=k](/media/m/b/1/2/b121e802d9de670a7e59e7a86b3d04ca.png)
, ali već smo dobili da je
![f(-k)=0](/media/m/9/b/8/9b89ea67e299d243f6336eba23465e81.png)
pa zaključujemo da mora biti
![k=0](/media/m/c/a/8/ca8e06e5acf1f6a7b866fb274c07c278.png)
.
%V0
Neka je $f(0)=c$. Uvrštavanjem $x=0$ u uvjet dobijemo $c=f(c)$. Uvrstimo li sada $c$ umjesto $x$ u uvjet, imamo:
$$c+f(c)=f(f(c))$$
Odnosno:
$$c+c=f(c)=c$$
Pa je $c=0=f(0)$. Neka broj $k$ zadovoljava $f(f(k))=0$. Vrijedi $0=f(f(k))=k+f(k)$ te je iz toga $f(k)=-k$. Sada je:
$$f(f(k))=f(-k)=0$$
Te nakon što uzmemo funkciju lijeve i desne strane:
$$f(f(-k))=f(0)=0$$
Zbog uvjeta zadatka imamo $0=f(f(-k))=-k+f(-k)$ pa je $f(-k)=k$, ali već smo dobili da je $f(-k)=0$ pa zaključujemo da mora biti $k=0$.
10. travnja 2016. 16:50 | ikicic | Točno |