Školjka

%V0 $(1)$ Primjetimo da je $a = \sqrt{b^2-h_a^2} \pm \sqrt{c^2-h_a^2} \leq \sqrt{b^2-h_a^2} + \sqrt{c^2-h_a^2}$ Prema tome, $a^2 \leq b^2+c^2-2h_a^2 +2\sqrt{(b^2-h_a^2)(c^2-h_a^2)}$ Nadalje, $$b+c \geq \sqrt{a^2+4h_a^2} \iff (b+c)^2 \geq a^2 + 4h_a^2 $$ $$b^2 + c^2 + 2bc \geq b^2 + c^2 - 2h_a^2 + 2\sqrt{(b^2 - h_a^2)(c^2 - h_a^2)} + 4h_a^2$$ $$bc \geq h_a^2 + \sqrt{(b^2 - h_a^2)(c^2 - h_a^2)}$$ $$(bc-h_a^2)^2 \geq (b^2 - h_a^2)(c^2 - h_a^2)$$ $$b^2c^2 + h_a^4 - 2bch_a^2 \geq b^2c^2 - (b^2+c^2)h_a^2 + h_a^4$$ $$(b^2+c^2)h_a^2 \geq 2bch_a^2 \iff b^2 +c^2 \geq 2bc \iff (b-c)^2 \geq 0$$ Što dokazuje originalnu nejednakost. Jednakost može vrijediti samo ako $b = c$ ili $h_a = 0$ te provjerom dobivamo da u jednakokračnim i degeneriranim trokutima jednakost uistinu vrijedi. Analogno provodimo dokaz za druge dvije stranice. $(2)$ Neka su stranice $a, b, c$ nasuprotne vrhovima $A, B, C$ i neka je $N$ nožište visine iz vrha $A$ na stranicu $a$. $(|AN| = h_a)$ Neka je $S$ točka takva da je $NASB$ pravokutnik. Neka je $Q$ točka na na polupravcu $BS$ takva da $|BQ| = 2|BS| = 2h_a$ $\triangle ASB \cong \triangle ASQ \implies |AQ| = |AB| = c$ pa po nejednakosti trokuta na $\triangle QAC$ mora vrijediti $|AQ| + |AC| \geq |CQ| \iff b + c \geq \sqrt{a^2 +4h_a^2}$ Jednakost se postiže kada $A \in QC$ a tada $\triangle CAN \sim \triangle CQB, k = 2 \implies |CQ| = 2|CA| \implies |CA| = |AQ| = |AB| $ pa je $\triangle ABC$ jednakokračan. Lako je vidjeti da se jednakost postiže i kada je $\triangle ABC$ degeneriran. Analogno provodimo dokaz za druge dvije stranice.