Točno
23. lipnja 2016. 22:32 (8 godine)
Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili!
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
Ako je
,tada je
, pa možemo i reći da
.
Sad za svaki prost broj iz skupa
kao djelitelj
vrijedi da je djelitelj
, a kako je prost i samog
.
Trivijalno je uvidjeti da svaki prost djelitelj
mora biti manji ili jednak
.
S druge strane po oslabljenoj verziji Bertrandovog postulata (za koji sam totalno znao i prije ovog) vrijedi da za svaki prirodan broj
postoji barem jedan prost broj
za koji vrijedi
.
Taj prost broj po
mora biti djelitelj
, što je nemoguće po
. Dakle, ne postoji rješenje za
. Preostaje proučiti slučajeve kad je
. Ovdje dobivamo jedina rješenja
.
Ako je
tada se analogno dolazi do
pa i
. S druge strane
, pa ovdje nema rješenja.
![x \leqslant y](/media/m/2/a/b/2ab841d3b8fe6bb40bda14b26bb8a3b0.png)
![y!=x! \cdot (x+1) \cdot (x+2) \cdot ... \cdot y](/media/m/9/4/a/94aaddf18a3bebf4040006225276c360.png)
![x! \mid y! \Rightarrow x! \mid x! + y! \Rightarrow x! \mid x^y](/media/m/8/f/9/8f9f990b8af6f0b0ea4d80d838f19e3e.png)
Sad za svaki prost broj iz skupa
![\{ 1,2,3,...,x\}](/media/m/d/6/f/d6fe3e93195a5c460bc49db5344b75cd.png)
![x!](/media/m/0/3/1/031ca0246028fe0f23dde757fb50d65f.png)
![x^y](/media/m/2/2/f/22febbd53c2a5c397a243e977ac6b48d.png)
![x](/media/m/f/1/8/f185adeed9bd346bc960bca0147d7aae.png)
![(*)](/media/m/c/9/4/c94939ff7907470a22471d9318185670.png)
![\text{Lemma}:](/media/m/8/b/c/8bc2e4839a432ecd08532712979d98d2.png)
![x](/media/m/f/1/8/f185adeed9bd346bc960bca0147d7aae.png)
![\frac{x}{2}](/media/m/f/e/3/fe33cd342a2bf5780867172cc383a1d5.png)
S druge strane po oslabljenoj verziji Bertrandovog postulata (za koji sam totalno znao i prije ovog) vrijedi da za svaki prirodan broj
![n>2](/media/m/b/8/a/b8a6d2bba9f17a4b18791eda0f2c0bf7.png)
![p](/media/m/1/c/8/1c85c88d10b11745150467bf9935f7de.png)
![n<p<2n](/media/m/e/f/0/ef08cccbdfc7e7d62e2ad258fc26deeb.png)
Taj prost broj po
![(*)](/media/m/c/9/4/c94939ff7907470a22471d9318185670.png)
![x](/media/m/f/1/8/f185adeed9bd346bc960bca0147d7aae.png)
![\text{Lemmi}](/media/m/f/9/5/f95c375f3acbc0f4bfd348bec010883f.png)
![x>2](/media/m/a/a/8/aa8e411d2afe44472bdcde1edc33b9e4.png)
![x\leqslant2](/media/m/1/8/9/189527ee6b19b0ef153abafd31764639.png)
![(2,2),(2,3)](/media/m/a/f/e/afecd4386822b5dacb06fe49ab2245b4.png)
Ako je
![x > y](/media/m/e/b/2/eb2d9b827b93932d1bd216752a5dc6c0.png)
![y! \mid x ^ y](/media/m/1/5/4/15400c93eda574f03dda7aaf754442b0.png)
![x(x-1)...(y+1) + 1 \mid x^y](/media/m/c/c/e/cced40631a301625c74661749500c301.png)
![\text{gcd} (x(x-1)...(y+1) + 1,x)=1](/media/m/0/3/0/03065387085abefb251056bc64fa8be4.png)