Školjka

%V0 Trivijalna lemma $(*)$: Ako za prirodne brojeve $a,b$ vrijedi $a \mid b$ tada slijedi $a \leqslant b$. Uvrstimo sada $m=n$ te uz $(*)$ dobijemo $m^2 + f(m) \leqslant mf(m)+m$ što je ekvivalentno $m(m-1) \leqslant f(m)(m-1)$ pa za $m \geqslant 2$ dobivamo $m \leqslant f(m)$. Ako sada u početnu djeljivost uvrstimo $m=1$, lako se dobiva da i za $1$ vrijedi $1 \leqslant f(1)$. Dakle za sve prirodne $m$ vrijedi $m \leqslant f(m)$. Uvrštavanjem $m=n=2$ se dobiva $4+f(2) \mid 2f(2) + 2$. Ako uzmemo $\frac{2f(2)+2}{4+f(2)}=k$ dobivamo $(2-k)(f(2)+1)=3k$ pa dobivamo $k=1, f(2)=2$. Uvrstimo još $n=2$ i opći $m$ te dobivamo $4+f(m) \mid 4+m$ pa po $(*)$ slijedi da je $m\geqslant f(m)$ za svaki prirodni $m$. Kako je $m \geqslant f(m)$ i $m \leqslant f(m) $ jedino je moguće da je $f(m)=m$ za svaki prirodni $m$, što se uvrštavanjem potvrđuje kao rješenje.