Točno
25. lipnja 2016. 22:28 (8 godine)
Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili!
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
Trivijalna lemma
: Ako za prirodne brojeve
vrijedi
tada slijedi
.
Uvrstimo sada
te uz
dobijemo
što je ekvivalentno
pa za
dobivamo
. Ako sada u početnu djeljivost uvrstimo
, lako se dobiva da i za
vrijedi
. Dakle za sve prirodne
vrijedi
.
Uvrštavanjem
se dobiva
. Ako uzmemo
dobivamo
pa dobivamo
. Uvrstimo još
i opći
te dobivamo
pa po
slijedi da je
za svaki prirodni
.
Kako je
i
jedino je moguće da je
za svaki prirodni
, što se uvrštavanjem potvrđuje kao rješenje.
![(*)](/media/m/c/9/4/c94939ff7907470a22471d9318185670.png)
![a,b](/media/m/7/d/8/7d8bdace47e602448e6040957d8cf923.png)
![a \mid b](/media/m/4/c/f/4cf7d1bed28533d6e8608fb90827e4b1.png)
![a \leqslant b](/media/m/3/c/a/3ca73fc461762cdff05111f58ba0c384.png)
Uvrstimo sada
![m=n](/media/m/0/a/c/0ac6c3174bcd6cc10eefd35f4a337155.png)
![(*)](/media/m/c/9/4/c94939ff7907470a22471d9318185670.png)
![m^2 + f(m) \leqslant mf(m)+m](/media/m/8/0/c/80c8af73540a81032025c62aa845fee4.png)
![m(m-1) \leqslant f(m)(m-1)](/media/m/2/a/1/2a1d75980f1edd3844fe8ccf5a98a86b.png)
![m \geqslant 2](/media/m/c/a/7/ca7cf53c64eba1efcfff8cbde9fd6a6d.png)
![m \leqslant f(m)](/media/m/4/c/1/4c172e8f77f94abf7710d8c1dbf1acfd.png)
![m=1](/media/m/b/a/f/bafb0ac2c07e9777a8e74844c612cd66.png)
![1](/media/m/a/9/1/a913f49384c0227c8ea296a725bfc987.png)
![1 \leqslant f(1)](/media/m/d/5/0/d50649c5257d3e4ba4dc41239cb7dbf1.png)
![m](/media/m/1/3/6/1361d4850444c055a8a322281f279b39.png)
![m \leqslant f(m)](/media/m/4/c/1/4c172e8f77f94abf7710d8c1dbf1acfd.png)
Uvrštavanjem
![m=n=2](/media/m/0/0/6/0067205de82bb9007b698f941143dc46.png)
![4+f(2) \mid 2f(2) + 2](/media/m/d/1/c/d1c6fdc1f709ba69260e1b20a520a3d2.png)
![\frac{2f(2)+2}{4+f(2)}=k](/media/m/6/4/d/64d7bc9250fd01cbb3f6901f1d6b32e0.png)
![(2-k)(f(2)+1)=3k](/media/m/a/4/2/a42745215e7c6e3a3ffc141a8360ed21.png)
![k=1, f(2)=2](/media/m/d/0/1/d0179b5fbe9a5f2a7a58c108821cfae1.png)
![n=2](/media/m/e/8/2/e82e9f27692b705eb8b201ab32bd0a83.png)
![m](/media/m/1/3/6/1361d4850444c055a8a322281f279b39.png)
![4+f(m) \mid 4+m](/media/m/9/f/e/9fe9d0cce773223f4b4eca765152a25f.png)
![(*)](/media/m/c/9/4/c94939ff7907470a22471d9318185670.png)
![m\geqslant f(m)](/media/m/6/5/b/65be0253376a7890057cbde0b5acbc57.png)
![m](/media/m/1/3/6/1361d4850444c055a8a322281f279b39.png)
Kako je
![m \geqslant f(m)](/media/m/6/d/9/6d9c2a1e3cbe737b669e6cc9070194e4.png)
![m \leqslant f(m)](/media/m/4/c/1/4c172e8f77f94abf7710d8c1dbf1acfd.png)
![f(m)=m](/media/m/6/3/f/63ff24bec35e9ab5dc57dda780718bfd.png)
![m](/media/m/1/3/6/1361d4850444c055a8a322281f279b39.png)
Ocjene: (1)
Komentari:
grga, 22. srpnja 2016. 23:36
odlicno rjesenje, osim uz 2 tipfelera:
zapravo, ako uvrstis
, dobit ces
, iz cega se i neda nesto zakljuciti.
no naravno, cinjenica da je kodomena od
skup prirodnih brojeva (koji se ovdje nimalo zbunjujuce oznacava sa "
") ima kao posljedicu
.
mislim da je tu uvrsteno
.
Ako sada u početnu djeljivost uvrstimo
, lako se dobiva da i za
vrijedi ![1 \leqslant f(1)](/media/m/d/5/0/d50649c5257d3e4ba4dc41239cb7dbf1.png)
![m=1](/media/m/b/a/f/bafb0ac2c07e9777a8e74844c612cd66.png)
![1](/media/m/a/9/1/a913f49384c0227c8ea296a725bfc987.png)
![1 \leqslant f(1)](/media/m/d/5/0/d50649c5257d3e4ba4dc41239cb7dbf1.png)
zapravo, ako uvrstis
![m = n = 1](/media/m/8/5/c/85c41d39486ed052b12ff2ea2499d5b9.png)
![1 + f(1) \mid f(1) + 1](/media/m/c/c/2/cc280152a078a3b263a7c611fa729676.png)
no naravno, cinjenica da je kodomena od
![f](/media/m/9/9/8/99891073047c7d6941fc8c6a39a75cf2.png)
![\mathbb{Z}_{>0}](/media/m/d/6/0/d605ed919e8367bb4067e17e37f6c163.png)
![1 \leqslant f(1)](/media/m/d/5/0/d50649c5257d3e4ba4dc41239cb7dbf1.png)
Uvrstimo još
i opći
te dobivamo
![n=2](/media/m/e/8/2/e82e9f27692b705eb8b201ab32bd0a83.png)
![m](/media/m/1/3/6/1361d4850444c055a8a322281f279b39.png)
![4+f(m) \mid 4+m](/media/m/9/f/e/9fe9d0cce773223f4b4eca765152a25f.png)
mislim da je tu uvrsteno
![(n, m) = (m, 2)](/media/m/7/b/5/7b5f39488c7b619a32194ae70379405b.png)