Neocijenjeno
4. srpnja 2016. 15:34 (8 godine, 5 mjeseci)
Let
,
,
,
,
be points such that
is a cyclic quadrilateral and
is a parallelogram. The diagonals
and
intersect at
and the rays
and
intersect at
. Prove that
.
%V0
Let $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ be points such that $ABCD$ is a cyclic quadrilateral and $ABDE$ is a parallelogram. The diagonals $AC$ and $BD$ intersect at $S$ and the rays $AB$ and $DC$ intersect at $F$. Prove that $\sphericalangle{AFS}=\sphericalangle{ECD}$.
Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili!
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
Neka su
nožišta visina iz
na redom
. Kako je
tetivan slijedi da je
.
Kako je
tetivan vrijedi
.
Primijetimo da je
.
Iz
i
slijedi da je
iz čega slijedi traženo.
%V0
Neka su $K,L$ nožišta visina iz $S$ na redom $AB,DC$. Kako je $KFLS$ tetivan slijedi da je $\angle AFS = \angle SLK$.
Kako je $ABCD$ tetivan vrijedi $ABS \sim CDS \implies \frac{SK}{SL}= \frac{AB}{DC}= \frac {ED}{DC} (*)$.
Primijetimo da je $\angle LSK = 180 - \angle DFA = \angle CDA + \angle BAD = \angle EDA + \angle CDA = \angle EDC (**)$.
Iz $(*)$ i $(**)$ slijedi da je $SLK \sim EDC \implies \angle SLK = \angle DCE$ iz čega slijedi traženo.
Školjka