Školjka

%V0 $$p^q = k^2 - 9q^6 = (k-3q^3)(k+3q^3)$$ Prema tome, imamo za $a+b=q$: $$p^a = k - 3q^3$$ $$p^b = k + 3q^3$$ $$p^a + p^b = 2k$$ odakle ili $p \ | \ 2k$ ili $a = 0$. Očito, $p = 2$ nije rješenje zbog $p > q$ pa imamo $p \geq 3$ Nadalje, ako $p \ | \ k$ tada $k = np$ pa $p^q = n^2p^2 - 9q^6$ pa $p \ | \ 9q^6$. No, tada bi bilo ili $p = q$ što nije moguće po uvjetu $ p > q$ ili $p=3 \implies q = 2$ što nije rješenje (a time imamo i $p \geq 5$) Zaključujemo da $a =0$. Tada: $k = 3q^3 + 1$ pa $p^q = p^b = 6q^3 + 1$ $$p^q = 6q^3+1 \geq 5^q \implies q < 4 \implies q \in \{2, 3\}$$ Ako $q = 2$ tada $p^2 = 49$ pa $(p, q) = (7, 2)$ Ako $q = 3$ tada $p^3 = 163$ pa nema rješenja. Prema tome $p+q = 9$.