Odredi sve prirodne brojeve takve da za proizvoljne pozitivne realne brojeve , , ..., vrijedi nejednakost:
%V0
Odredi sve prirodne brojeve $n \geqslant 2$ takve da za proizvoljne pozitivne realne brojeve $x_1$, $x_2$, ..., $x_n$ vrijedi nejednakost: $$ \left(x_1+x_2+\cdots + x_i + \cdots + x_n\right)^2 \geqslant n\left(x_1x_2 + x_2x_3 + \cdots + x_ix_{i+1}+ \cdots + x_nx_1\right) \text{.} $$
Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili! Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
Za je sigurno nemoguće jer je moguće odabrati brojeve , a ostale takve da je ukupna suma manja od tada će lijeva strana bit strogo manja od a desna strogo veća.
što slijedi iz A-G nejednakosti.
što slijedi iz zbrajanje ove tri A-G nejednakosti
Dakle rješenja su
%V0
Za $ n \geqslant 5 $ je sigurno nemoguće jer je moguće odabrati brojeve $ x_1=1, x_2=1 $, a ostale takve da je ukupna suma manja od $ \sqrt{5} $ tada će lijeva strana bit strogo manja od $5$ a desna strogo veća.
$n=2 \newline (x_1+x_2)^2 \geqslant 2(x_1x_2 + x_2x_1) \Leftrightarrow x_1^2 + x_2^2 \geqslant 2x_1x_2 $ što slijedi iz A-G nejednakosti.
$n=3 \newline (x_1+x_2+x_3)^2 \geqslant 3(x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_1) \Leftrightarrow x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 \geqslant x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_1 $ što slijedi iz zbrajanje ove tri A-G nejednakosti
$ x_1^2 + x_2^2 \geqslant 2x_1x_2 \newline x_2^2 + x_3^2 \geqslant 2x_2x_3 \newline x_3^2 + x_1^2 \geqslant 2x_3x_1 $
$ n=4 \newline (x_1+x_2+x_3+x_4)^2 \geqslant 4(x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_4 + x_4x_1) \newline \Leftrightarrow
x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 -2x_1x_2 +2x_1x_3 -2x_1x_4 -2x_2x_3 + 2x_2x_4 - 2x_3x_4 \geqslant 0 \newline \Leftrightarrow (x_1-x_2+x_3-x_4)^2 \geqslant 0$
Dakle rješenja su $n=2,3,4$
Školjka 
takve da za proizvoljne pozitivne realne brojeve 
, 
, ..., 
vrijedi nejednakost: 
je sigurno nemoguće jer je moguće odabrati brojeve 
, a ostale takve da je ukupna suma manja od 
tada će lijeva strana bit strogo manja od 
a desna strogo veća.
što slijedi iz A-G nejednakosti.
što slijedi iz zbrajanje ove tri A-G nejednakosti 
