Točno
16. travnja 2012. 00:30 (12 godine, 3 mjeseci)
Dan je pravokutan trokut
![ABC](/media/m/a/c/7/ac75dca5ddb22ad70f492e2e0a153f95.png)
s pravim kutom pri vrhu
![C](/media/m/5/a/b/5ab88f3f735b691e133767fe7ea0483c.png)
, u kojem je
![M](/media/m/f/7/f/f7f312cf6ba459a332de8db3b8f906c4.png)
polovište katete
![\overline{BC}](/media/m/8/8/1/8818caad7d36e134c54122cbf46f1cd9.png)
. Dokaži da je
![\displaystyle \sin\left(\angle{MAB}\right) \leqslant \frac 13](/media/m/9/4/b/94b42d2b54150b035f9139e30dd87181.png)
. Kada se postiže jednakost?
%V0
Dan je pravokutan trokut $ABC$ s pravim kutom pri vrhu $C$, u kojem je $M$ polovište katete $\overline{BC}$. Dokaži da je $\displaystyle \sin\left(\angle{MAB}\right) \leqslant \frac 13$. Kada se postiže jednakost?
Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili!
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
![a = |BC|](/media/m/2/e/2/2e297ad4b5dcf6b96eaf6dfa5c0d065b.png)
,
Neka je
![T](/media/m/0/1/6/016d42c58f7f5f06bdf8af6b85141914.png)
nožište visine iz
![M](/media/m/f/7/f/f7f312cf6ba459a332de8db3b8f906c4.png)
na
![\overline{AB}](/media/m/a/1/a/a1a42310b1a849922197735f632d57ec.png)
.
Trokut
![\triangle MBT](/media/m/1/3/8/138d5f33c2b44ab1588f7dbf149a5d8d.png)
je sličan trokutu
![\triangle ABC](/media/m/1/f/3/1f3c3c0f3e134a169655f9511ba6ea82.png)
pa vrijedi:
![\frac{|MT|}{|BM|} = \frac{|AC|}{|AB|}](/media/m/d/3/6/d3677352aca28dd8b6cadfa7ff6ae97a.png)
.
Iz ovog slijedi da je
![|MT| = \frac{ab}{2\sqrt{a^2+b^2}}](/media/m/d/d/c/ddc00f6df5f156653c605da9e9d67da8.png)
.
Također vrijedi
![|AM|=\sqrt{\frac{1}{4}a^2+b^2}](/media/m/7/4/4/7442ae643c2f993bc4a0fb20aed7bb45.png)
![sin(\angle MAB) = \frac{|MT|}{|AM|} \leq \frac{1}{3}](/media/m/a/6/e/a6ecd63cc0d1a75f86733f72763082ae.png)
![\sqrt{\frac{1}{4}a^2+b^2} \geq \frac{3ab}{2\sqrt{a^2+b^2}}](/media/m/7/a/0/7a047f507ae24e064023b6b8502d0531.png)
Kvadriranjem i sređivanjem dobijemo:
![a^4+4b^4 \geq 4a^2b^2](/media/m/6/9/9/699a79d4e720fe66d63d926a5d3fd39c.png)
![(a^2-2b^2) \geq 0](/media/m/0/0/6/00642d71306cb805183bcbc4828e9573.png)
Jednakost vrijedi kada je
![a^2=2b^2](/media/m/9/b/2/9b209718b5f380a89a8d29eb78a9255b.png)
.
%V0
$a = |BC|$, $b = |AC|$ \
Neka je $T$ nožište visine iz $M$ na $\overline{AB}$.
Trokut $\triangle MBT$ je sličan trokutu $\triangle ABC$ pa vrijedi: $
\frac{|MT|}{|BM|} = \frac{|AC|}{|AB|}
$.
Iz ovog slijedi da je $|MT| = \frac{ab}{2\sqrt{a^2+b^2}}$.
Također vrijedi $|AM|=\sqrt{\frac{1}{4}a^2+b^2}$
$sin(\angle MAB) = \frac{|MT|}{|AM|} \leq \frac{1}{3}$
$\sqrt{\frac{1}{4}a^2+b^2} \geq \frac{3ab}{2\sqrt{a^2+b^2}}$
Kvadriranjem i sređivanjem dobijemo:
$a^4+4b^4 \geq 4a^2b^2$
$(a^2-2b^2) \geq 0$
Jednakost vrijedi kada je $a^2=2b^2$.
16. travnja 2012. 13:02 | Veki | Točno |
16. travnja 2012. 19:15 | grga | Točno |