Točno
6. studenoga 2016. 02:34 (7 godine, 8 mjeseci)
Neka su
![a](/media/m/6/d/2/6d2832265560bb67cf117009608524f6.png)
,
![b](/media/m/e/e/c/eec0d7323095a1f2101fc1a74d069df6.png)
i
![c](/media/m/e/a/3/ea344283b6fa26e4a02989dd1fb52a51.png)
pozitivni realni brojevi za koje vrijedi
![a^2 + b^2 + c^2 = \frac{1}{2}](/media/m/2/d/b/2db2f2cae0bbae70698783b7be2f2bc2.png)
. Dokaži nejednakost
%V0
Neka su $a$, $b$ i $c$ pozitivni realni brojevi za koje vrijedi $a^2 + b^2 + c^2 = \frac{1}{2}$. Dokaži nejednakost $$ \frac{1 - a^2 + c^2}{c\left(a + 2 b\right)} + \frac{1 - b^2 + a^2}{a \left(b + 2 c\right)} + \frac{1 - c^2 + b^2}{b \left(c + 2 a\right)} \geqslant 6 \text{.} $$
Upozorenje: Ovaj zadatak još niste riješili!
Kliknite ovdje kako biste prikazali rješenje.
![\begin{equation}\label{1}
\sum_{cyc}\frac{1-a^2+c^2}{c(a+2b)}=\sum_{cyc}\frac{a^2+2b^2+3c^2}{ac+2bc}\geq 6
\end{equation}](/media/m/8/d/1/8d1f1127b17ba8d9520addba39e75b9f.png)
Primjenimo A-G na nazivnik izraza (1)
$a^2+b^2+c^2=\frac{1}{2}\rightarrow 2a^2+2b^2+2c^2=1$
\begin{equation}\label{1}
\sum_{cyc}\frac{1-a^2+c^2}{c(a+2b)}=\sum_{cyc}\frac{a^2+2b^2+3c^2}{ac+2bc}\geq 6
\end{equation}
Primjenimo A-G na nazivnik izraza (1)
$$\sum_{cyc}\frac{a^2+2b^2+3c^2}{ac+2bc}\geq \sum_{cyc}\frac{a^2+2b^2+3c^2}{\frac{a^2+c^2}{2}+b^2+c^2}=\sum_{cyc}\frac{a^2+2b^2+3c^2}{\frac{a^2+2b^2+3c^2}{2}}=\sum_{cyc}2=6$$