Školjka

%V0 Ako su $\alpha $ i $\beta $ kutovi trokuta, dokažite nejednakost $$ \dfrac{\sin (\alpha +\beta)}{2\sin \alpha \sin \beta}\ge \ctg \dfrac{\alpha +\beta}{2}. $$

%V0 Točka $D$ je nožište visine iz vrha $A$, a točka $E$ nožište visine iz vrha $B$ trokuta $ABC$. Ako je $|AE|=5$, $|CE|=3$ i $|CD|=2$, odredi duljinu $|BD|$.

%V0 Ako za duljine $a$, $b$, $c$ stranica trokuta vrijedi $(a+b+c)(a+b-c)=3ab$, odredi kut nasuprot stranice $c$.

%V0 U raznostraničnom šiljastokutnom trokutu $ABC$ povučene su težišnica $\overline{CT}$ i visina $\overline{CH}$ na stranicu $\overline{AB}$ (točke $T$ i $H$ leže na stranici $\overline{AB}$). Ako su kutovi $\angle ACT$ i $\angle HCB$ jednaki, dokažite da je trokut pravokutan.

%V0 U trokutu $ABC$ duljine stranica su $|AB|=20$, $|AC|=21$ i $|BC|=29$. Točke $D$ i $E$ su na stranici $\overline{BC}$ takve da je $|BD|=8$ i $|EC|=9$. Odredite veličinu kuta $\angle DAE$.

%V0 Dokažite da u svakom trokutu vrijedi nejednakost $$\frac{\cos\alpha}{a^3} + \frac{\cos\beta}{b^3} + \frac{\cos\gamma}{c^3} \geq \frac{3}{2abc}$$ pri čemu su $a, b, c$ duljine stranica trokuta, te $\alpha, \beta, \gamma$ odgovarajući kutovi.