Školjka

%V0 Unutar trokuta $ABC$ nalazi se točka $S$. Dokažite da je umnožak udaljenosti točke $S$ od stranica trokuta $ABC$ najveći kada je točka $S$ njegovo težište.

%V0 Točka $M$ je unutar kvadrata $ABCD$. Označimo s $A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$ druge točke presjeka pravaca $AM$, $BM$, $CM$, $DM$, tim redom, s kružnicom opisanom kvadratu $ABCD$. Dokažite da je $$|A_1B_1||C_1D_1| = |A_1D_1||B_1C_1|\text{.}$$

%V0 Nad stranicama $\overline{AC}$ i $\overline{BC}$ šiljastokutnog trokuta $ABC$ s vanjske strane konstruiraju se kvadrat $ACXE$ i $CBDY$. Dokažite da se pravci $AD$ i $BE$ sijeku na visini iz vrha $C$ trokuta $ABC$.

%V0 neka su $L$ i $M$ redom tocke u kojima simetrale unutarnjeg i vanjskog kuta iz vrha $C$, trokuta $ABC$, sijeku pravac $AB$. ako je $|CL| = |CM|$, dokazite da je $|AC|^2 + |BC|^2 = 4R^2$, gdje je $R$ duljina polumjera kruznice opisane trokutu $ABC$

%V0 Na stranicama $\overline{AB}$ i $\overline{BC}$ kvadrata $ABCD$ izabrane su točke $E$ i $F$, tim redom, takve da je $|BE|=|BF|$. Neka je $\overline{BN}$ visina trokuta $BCE$. Dokažite da je trokut $DNF$ pravokutan.

%V0 Neka je $\overline{OA}$ promjer i $\overline{OB}$ tetiva kružnice $k$ polumjera $R$, $C$ sjecište pravca $OB$ i tangente na $k$ u točki $A$, $T$ točka na dužini $\overline{OB}$ takva da je $\left\vert OT \right\vert = \left\vert BC \right\vert$ i $T^{\prime}$ projekcija od $T$ na $\overline{OA}$. Izrazite $y = \left\vert T^{\prime}T \right\vert $ kao funkciju od $x = \left\vert OT^{\prime} \right\vert$.