Školjka

%V0 Razlika recipročnih vrijednosti dvaju uzastopnih prirodnih brojeva je $0.0aaa\dots=0.0\dot{a}$. Koje vrijednosti može poprimiti znamenka $a$?

%V0 Izračunaj $\left(1+\cos{\dfrac{\pi}{7}}+i\sin{\dfrac{6\pi}{7}}\right)^{14}$.

%V0 Treći član u razvoju binoma $\left(2\cdot\sqrt[n]{2^{-1}}+\dfrac{4}{\sqrt[4-n]{4}}\right)^6$ je $240$. Odredi $n$.

%V0 Odredi za koju je vrijednost od $x$ četvrti član razvoja binoma $$ \left(\sqrt{2^{x-1}}+\frac{1}{\sqrt[3]{2^x}}\right)^m $$ $20$ puta veći od eksponenta binoma ako je binomni koeficijent četvrtog člana pet puta veći od binomnog koeficijenta drugog člana.

%V0 Zadan je rastav skupa prirodnih brojeva: $$ \mathbb{N}= \{1\}\cup\{2,3\}\cup\{4,5,6\}\cup\{7,8,9,10\} \cup\{11,12,13,14,15\}\cup\ldots $$ Ako je $S_k$ zbroj svih $k$ brojeva u $k$-tom skupu iz gornjeg rastava, dokažite da vrijedi $$ S_1 + S_3 + S_5 + \ldots + S_{2n-1} = n^4 $$ za svaki prirodni broj $n$.

%V0 Nađite sve prirodne brojeve $x$ za koje je $$ 1 + a + a^2 + \ldots + a^x = (1 + a)(1 + a^2)(1 + a^4)(1 + a^8)\ldots (1 + a^{2^n}), $$ gdje je $a$ realan i $n$ prirodan broj.