Školjka

%V0 Dan je četverokut $ABCD$ s kutovima $\alpha = {60}^{\circ}$, $\beta = {90}^{\circ}$, $\gamma = {120}^{\circ}$. Dijagonale $\overline{AC}$ i $\overline{BD}$ sijeku se u točki $S$, pri čemu je $2\left\vert BS \right\vert = \left\vert SD \right\vert = 2d$. Iz polovišta $P$ dijagonale $\overline{AC}$ spuštena je okomica $\overline{PM}$ na dijagonalu $\overline{BD}$, a iz točke $S$ okomica $\overline{SN}$ na $\overline{PB}$. Dokaži: a) $\displaystyle \left\vert MS \right\vert = \left\vert NS \right\vert = \frac{d}{2}$ b) $\left\vert AD \right\vert = \left\vert DC \right\vert$ c) $\displaystyle P\!\left(ABCD\right) = \frac{9d^2}{2}$.

%V0 Unutar trokuta $ABC$ nalazi se točka $S$. Dokažite da je umnožak udaljenosti točke $S$ od stranica trokuta $ABC$ najveći kada je točka $S$ njegovo težište.

%V0 Pravilnom peterokutu povučene su sve dijagonale. Od $11$ likova s najmanjom površinom na slici, "središnji" peterokut ima površinu $x$, svaki od $5$ međusobno sukladnih šiljastokutnih trokuta ima površinu $y$, te svaki od $5$ međusobno sukladnih tupokutnih trokuta ima površinu $z$. ako je zadana površina $x$, nađite površine $y$ i $z$, te površinu cijelog peterokuta. [img attachment=1 width=200px]

%V0 Točka $M$ je unutar kvadrata $ABCD$. Označimo s $A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$ druge točke presjeka pravaca $AM$, $BM$, $CM$, $DM$, tim redom, s kružnicom opisanom kvadratu $ABCD$. Dokažite da je $$|A_1B_1||C_1D_1| = |A_1D_1||B_1C_1|\text{.}$$

%V0 Nad stranicama $\overline{AC}$ i $\overline{BC}$ šiljastokutnog trokuta $ABC$ s vanjske strane konstruiraju se kvadrat $ACXE$ i $CBDY$. Dokažite da se pravci $AD$ i $BE$ sijeku na visini iz vrha $C$ trokuta $ABC$.

%V0 neka su $L$ i $M$ redom tocke u kojima simetrale unutarnjeg i vanjskog kuta iz vrha $C$, trokuta $ABC$, sijeku pravac $AB$. ako je $|CL| = |CM|$, dokazite da je $|AC|^2 + |BC|^2 = 4R^2$, gdje je $R$ duljina polumjera kruznice opisane trokutu $ABC$