Slični zadaci

Državno natjecanje 2000 SŠ2 4

U unutrašnjosti kvadrata $ABCD$ stranice duljine $20$ , dane su točke $T_i$ , $i = 1,2,\dots,2000$ , tako da nikoje tri točke u skupu $S = \{A,B,C,D\} \cup \{ T_i : i = 1,2,\dots,2000 \}$ nisu kolinearne. Dokažite da postoji barem jedan trokut, s vrhovima u skupu $S$ , površine manje od $\frac{1}{10}$ .

Slični zadaci

Lista Tekst Dva stupca

Zadaci

Zelene točke

U ravnini $M$ dano je $n$ zelenih i $n$ plavih točaka tako da nikoje tri nisu kolinearne. Ili dokaži ili opovrgni: uvijek postoji skup $S$ koji sadrži $n$ dužina s raznobojnim krajnjim točkama tako da se nikoje dvije dužine ne sijeku.

Državno natjecanje 2007 SŠ2 4

Unutar trokuta $ABC$ nalazi se točka $S$ . Dokažite da je umnožak udaljenosti točke $S$ od stranica trokuta $ABC$ najveći kada je točka $S$ njegovo težište.

Državno natjecanje 2006 SŠ2 4

U polja kvadrata $3 \times 3$ treba upisati prirodne brojeve, tako da u svakom retku i svakom stupcu produkt upisanih brojeva bude $270$ . Na koliko je načina to moguće napraviti?

Državno natjecanje 2000 SŠ2 2

Nad stranicama $\overline{AC}$ i $\overline{BC}$ šiljastokutnog trokuta $ABC$ s vanjske strane konstruiraju se kvadrat $ACXE$ i $CBDY$ . Dokažite da se pravci $AD$ i $BE$ sijeku na visini iz vrha $C$ trokuta $ABC$ .

Državno natjecanje 1999 SŠ2 1

neka su $L$ i $M$ redom tocke u kojima simetrale unutarnjeg i vanjskog kuta iz vrha $C$ , trokuta $ABC$ , sijeku pravac $AB$ . ako je $|CL| = |CM|$ , dokazite da je $|AC|^2 + |BC|^2 = 4R^2$ , gdje je $R$ duljina polumjera kruznice opisane trokutu $ABC$

Državno natjecanje 1997 SŠ2 4

U ravnini je dano $1997$ točaka. Dokažite da među svim udaljenostima po dvije od tih točaka ima barem $32$ različite.