Školjka

%V0 U vreći se nalazilo $255$ kuglica označenih brojevima $1$, $2$, ..., $255$, a onda je svaki od $N$ učenika uzeo iz vreće po jednu kuglicu. Pokazalo se da nijedan od izvučenih brojeva nije točno dvostruko veći od nekog drugog izvučenog broja. Odredi najveći mogući $N$.

%V0 Na početku je u svaki od kvadrata raspoređenih kao na slici upisana nula. $$$\setlength{\unitlength}{5pt} \begin{center} \begin{picture}(19, 19) \newsavebox{\sq} \savebox{\sq}(3, 3)[bl]{\put(0, 0){\line(1, 0){3}}\put(0, 3){\line(1, 0){3}}\put(0, 0){\line(0, 1){3}}\put(3, 0){\line(0, 1){3}}} \newsavebox{\lih} \savebox{\lih}(1, 1)[bl]{\put(0, 1.5){\line(1, 0){1}}} \newsavebox{\liv} \savebox{\liv}(1, 1)[bl]{\put(1.5, 0){\line(0, 1){1}}} \multiput(0, 0)(4, 0){5}{\usebox{\sq}} \multiput(0, 8)(4, 0){5}{\usebox{\sq}} \multiput(0, 16)(4, 0){5}{\usebox{\sq}} \multiput(0, 0)(0, 4){5}{\usebox{\sq}} \multiput(8, 0)(0, 4){5}{\usebox{\sq}} \multiput(16, 0)(0, 4){5}{\usebox{\sq}} \multiput(3, 0)(4, 0){4}{\usebox{\lih}} \multiput(3, 8)(4, 0){4}{\usebox{\lih}} \multiput(3, 16)(4, 0){4}{\usebox{\lih}} \multiput(0, 3)(0, 4){4}{\usebox{\liv}} \multiput(8, 3)(0, 4){4}{\usebox{\liv}} \multiput(16, 3)(0, 4){4}{\usebox{\liv}} \end{picture} \end{center}$$$ U svakom potezu odabire se jedan od kvadrata te se istovremeno brojevi koji se nalaze u tom kvadratu i u svim njemu susjednim kvadratima uvećavaju za jedan. Dokaži da je nakon određenog broja poteza: a) moguće postići da u svakom kvadratu piše broj $2010$ b) nemoguće postići da u svakom kvadratu piše broj $2011$.

%V0 U svako polje tablice $m \times n$ ($m,\,n \in \mathbb{N}$) upisano je slovo $A$ ili $B$. Pritom nikoja dva susjedna polja (sa zajedničkom stranicom) ne sadrže isto slovo. U jednom koraku biraju se dva susjedna polja, i oba slova na tim poljima zamijene se novim slovima po sljedećem pravilu: - umjesto slova $A$ upisuje se slovo $B$ - umjesto slova $B$ upisuje se slovo $C$ - umjesto slova $C$ upisuje se slovo $A$. Za koje $m$ i $n$ nakon konačno mnogo koraka možemo postići da u svim poljima u kojima je na početku bilo napisano slovo $A$ sada piše slovo $B$, a u svim poljima u kojima je na početku bilo napisano slovo $B$ sada piše slovo $A$?

%V0 Dokažite da u svakom skupu od $11$ prirodnih brojeva postoji njih $6$, čiji je zbroj djeljiv sa $6$.

%V0 Žaba skače po točkama koordinatne mreže počevši od točke $(1, 1)$ po sljedećim pravilima: $(i)$ iz točke $(a, b)$ žaba smije skočiti u točku $(2a, b)$, odnosno $(a, 2b)$; $(ii)$ ako je $a > b$ žaba smije skočiti iz $(a, b)$ u $(a - b, b)$, a ako je $a < b$ žaba smije skočiti iz $(a, b)$ u $(a, b - a)$. Može li žaba stići u točku $(a)$ $(24, 40)$, $(b)$ $(40, 60)$, $(c)$ $(24, 60)$, $(d)$ $(200, 4)$?

%V0 Koliko najmanje brojeva može imati skup $A$ prirodnih brojeva od kojih je najmanji jednak $1$, najveći $100$, i ima svojstvo da je svaki broj iz $A$, osim $1$, jednak zbroju dva (jednaka ili različita) broja iz $A$?