Školjka

%V0 Izračunajte beskonačni zbroj $s = 1 + 4x + 9x^2 + \ldots + n^2x^{n-1} + \ldots$, gdje je $|x| < 1$.

%V0 Neka su $a$ i $b$ realni brojevi takvi da su sve nultočke polinoma $$ P\!\left(x\right) = x^3+ax^2+bx-8 $$ realne. Dokaži da vrijedi $\displaystyle a^2 \geqslant 2b + 12$.

%V0 U polja kvadrata $3 \times 3$ treba upisati prirodne brojeve, tako da u svakom retku i svakom stupcu produkt upisanih brojeva bude $270$. Na koliko je načina to moguće napraviti?

%V0 Nađite sve parove realnih brojeva $(x, y)$ za koje vrijedi $(2x + 1)^2 + y^2 + (y - 2x)^2 = \frac{1}{3}$.

%V0 Neka su $a$, $b$, $c$ realni brojevi veći od $1$. Dokažite sljedeću nejednakost $$\log_a\left(\frac{b^2}{ac}-b+ac\right) \log_b\left(\frac{c^2}{ab}-c+ab\right) \log_c\left(\frac{a^2}{bc}-a+bc\right) \geq 1.$$

%V0 Na željezničkoj pruzi dugačkoj $56$ km ima $11$ postaja $A_1$, $A_2$, ..., $A_{11}$. Udaljenosti oblika $d\!\left(A_i,\,A_{i+2}\right)$, ($i=1,\,2,\,\ldots,\,9$) nisu veće od $12$ km, a udaljenosti oblika $d\!\left(A_i,\,A_{i+3}\right)$, ($i=1,\,2,\,\ldots,\,8$) nisu manje od $17$ km. Kolika je udaljenost $d\!\left(A_2,\,A_7\right)$?