Školjka

%V0 Neka su $x$, $y$, $z$ pozitivni realni brojevi za koje vrijedi $x^3+y^3+z^3=1$. Dokaži da je tada $$ x^2+y^2+z^2 > x^5+y^5+z^5+2x^2y^2z^2(x+y+z). $$

%V0 Neka su $a$, $b$ i $c$ pozitivni realni brojevi takvi da je $ab+bc+ca=1$. Dokaži nejednakost $$ \dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\geq \sqrt{3}+\dfrac{ab}{a+b}+\dfrac{bc}{b+c}+\dfrac{ca}{c+a}. $$

%V0 Neka su $x_1, x_2, . . . , x_{n-1}, x_n$ pozitivni realni brojevi takvi da je $\sum_{i=1}^{n}x_i = 1$. Dokaži nejednakost $$\frac{x_1^2}{x_1+x_2} + \frac{x_2^2}{x_2+x_3} + \cdots + \frac{x_{n-1}^2}{x_{n-1}+x_n} + \frac{x_n^2}{x_n+x_1} \geq \frac{1}{2}.$$

%V0 Dokažite da za pozitivne brojeve $a, b, c$ vrijedi nejednakost $$\frac{a^2}{(a+b)(a+c)} + \frac{b^2}{(b+a)(b+c)} + \frac{c^2}{(c+a)(c+b)} \geq \frac{3}{4}.$$

%V0 Za pozitivne brojeve $a_1$, $a_2$, $\dots$, $a_n$, $n \geq 2$ označimo $a_1 + a_2 + \dots + a_n = s$. Dokažite nejednakost $$\dfrac{a_1}{s - a_1} + \dfrac{a_2}{s - a_2} + \dots + \dfrac{a_n}{s - a_n} \geq \dfrac{n}{n - 1}\text{.}$$

%V0 Dokažite da za svaka dva realna broja $a \geq 0$ i $b \geq 0$ vrijedi nejednakost $$\frac{a + \sqrt[3]{a^2b} + \sqrt[3]{ab^2} + b}{4} \leq \frac{a + \sqrt{ab} + b}{3}\text{.}$$