Školjka

%V0 Odredi sve prirodne brojeve $n \geqslant 2$ takve da za proizvoljne pozitivne realne brojeve $x_1$, $x_2$, ..., $x_n$ vrijedi nejednakost: $$ \left(x_1+x_2+\cdots + x_i + \cdots + x_n\right)^2 \geqslant n\left(x_1x_2 + x_2x_3 + \cdots + x_ix_{i+1}+ \cdots + x_nx_1\right) \text{.} $$

%V0 Nađite sva rješenja $k, l, m \in \mathbb{N}$ jednadžbe: $$k!l! = k! + l! + m!\text{.}$$ ($n!$ označava umnožak prirodnih brojeva od $1$ do $n$.)

%V0 Dokažite da za svaki prirodan broj $n \geq 2$ vrijedi ova jednakost $$\lfloor \log_{2}{n} \rfloor + \lfloor \log_{3}{n} \rfloor + \ldots + \lfloor \log_{n}{n} \rfloor = \lfloor \sqrt{n} \rfloor + \lfloor \sqrt[3]{n} \rfloor + \ldots + \lfloor \sqrt[n]{n} \rfloor.$$ ( $\lfloor x \rfloor$ je oznaka za najveći cijeli broj koji nije veći od $x$.)

%V0 Nađite sve parove realnih brojeva $(x, y)$ za koje vrijedi $(2x + 1)^2 + y^2 + (y - 2x)^2 = \frac{1}{3}$.

%V0 Na željezničkoj pruzi dugačkoj $56$ km ima $11$ postaja $A_1$, $A_2$, ..., $A_{11}$. Udaljenosti oblika $d\!\left(A_i,\,A_{i+2}\right)$, ($i=1,\,2,\,\ldots,\,9$) nisu veće od $12$ km, a udaljenosti oblika $d\!\left(A_i,\,A_{i+3}\right)$, ($i=1,\,2,\,\ldots,\,8$) nisu manje od $17$ km. Kolika je udaljenost $d\!\left(A_2,\,A_7\right)$?

%V0 Neka su $a$, $b$, $c$ realni brojevi koji nisu svi jednaki, takvi da vrijedi $$a+\frac1b=b+\frac1c=c+\frac1a \text{.}$$ Dokaži da je $\displaystyle a+\frac1b=-abc$.