Školjka

%V0 Za realne brojeve $a$ i $b$ vrijedi $a+b = 1$, $a > 0$, $b > 0$. Dokažite da je $$2 < \left(a-\frac{1}{a}\right) \left(b-\frac{1}{b}\right) \leq \frac{9}{4}.$$

%V0 Dani su brojevi $a_1, a_2, \ldots, a_{2012}$ iz intervala $\left[0,1\right]$. Dokaži nejednakost: $$ \left(1-a_1\right)a_2a_3\cdots a_{2012} + a_1\left(1-a_2\right)a_3 \cdots a_{2012} + \cdots + a_1\cdots a_{2011}\left(1-a_{2012}\right) \leq 1 \text{.}$$

%V0 Odredi najveći cijeli broj $n$ za koji vrijedi nejednakost $$3\left(n-\dfrac 53\right)-2(4n+1)>6n+5\text{.}$$

%V0 Neka su $x$, $y$, $z$ pozitivni realni brojevi za koje vrijedi $x^3+y^3+z^3=1$. Dokaži da je tada $$ x^2+y^2+z^2 > x^5+y^5+z^5+2x^2y^2z^2(x+y+z). $$

%V0 Dokaži da za sve $x,y>0$ vrijedi nejednakost $$ x^4+y^3+x^2+y+1>\dfrac 92 xy. $$

%V0 Pokažite da za svaka dva pozitivna broja $p$ i $q$ vrijedi nejednakost $$\left(p^2+p+1\right)\left(q^2+q+1\right) \geqslant 9pq \text{.}$$