Školjka

%V0 Let $a, b, c$ be positive real numbers such that $$\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}=2\text{.}$$ Prove that $$\frac{\sqrt a + \sqrt b+\sqrt c}{2} \geq \frac{1}{\sqrt a}+\frac{1}{\sqrt b}+\frac{1}{\sqrt c}\text{.}$$

%V0 Let $x$, $y$, $z$ be real numbers satisfying $x^2+y^2+z^2+9=4(x+y+z)$. Prove that $$x^4+y^4+z^4+16(x^2+y^2+z^2) \ge 8(x^3+y^3+z^3)+27$$ and determine when equality holds.

%V0 Odredi sve realne brojeve $a$ takve da, za svaki realan broj $x$, vrijedi $$ \dfrac{x}{x^2 + 2 x + 3} > \dfrac{x + a}{1+x+x^2}. $$

%V0 Za koje vrijednosti broja $m$ vrijedi $$ -3< \frac{x^2-mx+1}{x^2+x+1}<3 $$ za svaki realni broj $x$?

%V0 U ovisnosti o pozitivnom realnom parametru $p$ riješi nejednadžbu $$ \dfrac{x}{p}-\dfrac{2p}{x}<2. $$

%V0 Dokažite da je $x^8-x^5+x^2-x+1>0$ za svaki realan broj $x$.