Školjka

%V0 Tri hrpe se sastoje od $7$, $9$ i $11$ novčića. Smiješ uzeti po jedan s dvije različite hrpe i staviti jedan na treću. Može li na kraju ostati samo jedan novčić?

%V0 Roko se šeće po ploči $4 \times 2012$ ($4$ retka, $2012$ stupaca), koja je obojana šahovski (polje lijevo gore je crno). Na početku se nalazi na crnom polju u prvom retku i prvom stupcu. U svakom koraku pomakne se prema desno, i to na neko crno polje koje ima jedan vrh zajednički sa poljem na kojem se trenutno nalazi. Na koliko načina se Roko može prošetati pločom i završiti na polju u zadnjem retku i zadnjem stupcu?

%V0 Initially, only the integer $44$ is written on a board. An integer a on the board can be re- placed with four pairwise different integers $a_1, a_2, a_3, a_4$ such that the arithmetic mean $\frac 14 (a_1 + a_2 + a_3 + a_4)$ of the four new integers is equal to the number $a$. In a step we simultaneously replace all the integers on the board in the above way. After $30$ steps we end up with $n = 4^{30}$ integers $b_1, b2,\ldots, b_n$ on the board. Prove that $$\frac{b_1^2 + b_2^2+b_3^2+\cdots+b_n^2}{n}\geq 2011.$$

%V0 Kiki zamisli dvoznamenkasti broj, a Veki ga pokušava pogoditi. Ako Veki pogodi točan broj ili broj kojemu je jedna znamenka točna a druga se od točne razlikuje za 1 Kiki mu kaže "Toplo!", inače kaže "Hladno!". (npr. ako Kiki zamisli $65$, za pogađane brojeve $64, 65, 66, 55, 75$ reći će "Toplo!", a za ostale "Hladno!") $\text{(i)}$ Dokaži da ne postoji strategija u kojoj Veki sigurno određuje Kikijev broj u ne više od $18$ pokušaja. $\text{(ii)}$ Pronađite strategiju kojom Veki sigurno određuje Kikijev broj u ne više od $24$ pokušaja.

%V0 Neka je $M$ podskup skupa $\{1, 2, ..., 15\}$ koji ne sadrži $3$ elementa čiji je umnožak potpun kvadrat. Odredi maksimalan broj elemenata skupa $M$.

%V0 Consider the two square matrices $$A=\begin{bmatrix}+1 &+1 &+1&+1 &+1\\+1 &+1 &+1&-1 &-1\\ +1 &-1&-1 &+1&+1\\ +1 &-1 &-1 &-1 &+1\\ +1 &+1&-1 &+1&-1\end{bmatrix}\quad\text{ and }\quad B=\begin{bmatrix}+1 &+1 &+1&+1 &+1\\+1 &+1 &+1&-1 &-1\\ +1 &+1&-1&+1&-1\\ +1 &-1&-1&+1&+1\\ +1 &-1&+1&-1 &+1\end{bmatrix}$$ with entries $+1$ and $-1$. The following operations will be called elementary: (1) Changing signs of all numbers in one row; (2) Changing signs of all numbers in one column; (3) Interchanging two rows (two rows exchange their positions); (4) Interchanging two columns. Prove that the matrix $B$ cannot be obtained from the matrix $A$ using these operations.