U nekim se zadacima susrećemo sa sustavom koji se mijenja po određenim pravilima. U takvim je zadacima ćesto korisno potražiti neku veličinu koju ta pravila ne mijenjaju. Takvu veličinu, koju se ne mijenja nikakvom dozvoljenom promjenom sustava, zovemo invarijantp,.
Česti primjeri invarijanti su: ostatak koji suma daje pri djeljenju s
za neki prirodni
ili, primjerice, njihov umnožak.
Primjer zadatka i zapisa rješenja:
Neka su dozvoljeni koraci promjene uređenog para![(x,y)](/media/m/c/9/1/c91aec4078b932368ded863349deaec5.png)
![\bullet (x,y) \rightarrow \left( \dfrac{1}{3}x + \dfrac{4}{5}y,\dfrac{2}{3}x+\dfrac{1}{5}y \right)](/media/m/7/d/b/7db90a2cce164aeab3e1fca46e4d1671.png)
![\bullet (x,y) \rightarrow (y,x)](/media/m/2/8/b/28b35a2d2409995d3753d33b94cb7791.png)
(Dakle, primjenjujući prvi korak na
dobivamo
što je jednako
. Sada možemo, na primjer primjeniti drugi dozvoljeni korak i dobiti
, pa opet možemo primjeniti prvi, i tako dalje.)
Pitanje: Možemo li od brojeva
doći do
?
Rješenje:
Primjetimo da u oba moguća koraka (promjene) prije i nakon promjene imamo istu sumu uređenog para. To jest primjetimo da:
![x+y=\dfrac{1}{3}x+\dfrac{4}{5}y+\dfrac{2}{3}x+\dfrac{1}{5}y](/media/m/b/6/5/b65ee4d6062382fb7c927ee1550ff386.png)
![x+y=x+y](/media/m/e/c/9/ec90a7cb9a90bb7e74a6ec7af1813f5c.png)
i
![x+y=y+x](/media/m/7/1/0/710114b37ea420d089cb2f1cdabab1f8.png)
Dakle, što god mi radili, suma uređenog para se neće promijeniti. Suma para od kojeg počinjemo je
, a moramo doći do
. Kako
, vidimo da to nije moguće.
Česti primjeri invarijanti su: ostatak koji suma daje pri djeljenju s
![n](/media/m/a/e/5/ae594d7d1e46f4b979494cf8a815232b.png)
![n](/media/m/a/e/5/ae594d7d1e46f4b979494cf8a815232b.png)
Primjer zadatka i zapisa rješenja:
Neka su dozvoljeni koraci promjene uređenog para
![(x,y)](/media/m/c/9/1/c91aec4078b932368ded863349deaec5.png)
![\bullet (x,y) \rightarrow \left( \dfrac{1}{3}x + \dfrac{4}{5}y,\dfrac{2}{3}x+\dfrac{1}{5}y \right)](/media/m/7/d/b/7db90a2cce164aeab3e1fca46e4d1671.png)
![\bullet (x,y) \rightarrow (y,x)](/media/m/2/8/b/28b35a2d2409995d3753d33b94cb7791.png)
(Dakle, primjenjujući prvi korak na
![(2,1)](/media/m/c/a/0/ca0dd0248c9103fb0949e710362d4a1f.png)
![\left( \dfrac{1}{3}\cdot 2+\dfrac{4}{5}\cdot 1,\dfrac{2}{3}+\cdot 2\dfrac{1}{5}\cdot 1 \right)](/media/m/b/d/8/bd83f319df8b263bd70bdcdcbaf3e2e1.png)
![\left( \dfrac{22}{15},\dfrac{23}{15} \right)](/media/m/0/4/4/044db64cf13d679f0d329a6ae4441a7d.png)
![\left( \dfrac{23}{15},\dfrac{22}{15} \right)](/media/m/c/d/9/cd9447ccbd857d50de42c92da21e0c09.png)
Pitanje: Možemo li od brojeva
![(2,7)](/media/m/4/d/9/4d9ff70faf59693abd616ceedd6ba634.png)
![(4,3)](/media/m/5/e/8/5e8eebec7db1a2e25e14804b5be477f1.png)
Rješenje:
Primjetimo da u oba moguća koraka (promjene) prije i nakon promjene imamo istu sumu uređenog para. To jest primjetimo da:
![x+y=\dfrac{1}{3}x+\dfrac{4}{5}y+\dfrac{2}{3}x+\dfrac{1}{5}y](/media/m/b/6/5/b65ee4d6062382fb7c927ee1550ff386.png)
![x+y=x+y](/media/m/e/c/9/ec90a7cb9a90bb7e74a6ec7af1813f5c.png)
i
![x+y=y+x](/media/m/7/1/0/710114b37ea420d089cb2f1cdabab1f8.png)
Dakle, što god mi radili, suma uređenog para se neće promijeniti. Suma para od kojeg počinjemo je
![2+7=9](/media/m/5/e/e/5eef9e6fe3c6342ca741ab02f98a641a.png)
![4+3=7](/media/m/6/c/8/6c8febe50006655a02de762b4ebc3720.png)
![7 \neq 9](/media/m/7/6/6/7662e5caee5e13beb6cc39cadc6b1271.png)