Školjka

%V0 Nazovimo prirodan broj $n$ "sretan" ako mu je zbroj svih znamenaka višekratnik od $7$, i "supersretan" ako je "sretan" i niti jedan od brojeva $$n + 1 \text{, } n + 2 \text{, } \ldots \text{, } n + 12$$ nije "sretan". Koji je najmanji "supersretan" prirodan broj?

%V0 Odredite najveći prirodni broj $n$ takav da $n^2 + 2007n$ bude kvadrat nekog prirodnog broja.

%V0 Koju najveću vrijednost može poprimiti izraz $$\frac{1}{k} + \frac{1}{m} + \frac{1}{n} \text{,}$$ ako su $k$, $m$, $n$ prirodni brojevi takvi da je $\displaystyle \frac{1}{k} + \frac{1}{m} + \frac{1}{n} < 1$.

%V0 Nađite sve trojke $\left(x,\,y,\,z\right)$ prirodnih brojeva koji zadovoljavaju jednadžbu $$2x^2y^2 + 2y^2z^2 + 2z^2x^2 - x^4 - y^4 - z^4 = 576 \text{.}$$ [i]Naputak:[/i] Izraz s lijeve strane jednadžbe rastavite na faktore.

%V0 Nađite sve prirodne brojeve $m$ i $n$ koji zadovoljavaju jednadžbu $$10(m + n)=mn\text{.}$$

%V0 Nađite sva cjelobrojna rješenja jednadžbe $$\frac1m + \frac1n - \frac{1}{mn^2} = \frac34 \text{.}$$