Školjka

%V0 Nađite sve trojke realnih brojeva $x$, $y$, $z$ za koje vrijedi $xyz\neq 0$ i zadovoljavaju sustav $$x^3+\frac{1}{4y}=z$$ $$y^3+\frac{1}{4z}=x$$ $$z^3+\frac{1}{4x}=y$$

%V0 Odredi sve vrijednosti parametra $a$ za koje sustav $$$\begin{align*} 2^{\left\vert x \right\vert} + \left\vert x \right\vert &= x^{2} + y + a\\ x^{2} + y^{2} & = 1 \end{align*}$$$ ima točno jedno rješenje $\left(x,\,y\right) \in \mathbb{R}^2$.

%V0 Neka su $a$, $b$, $c$ proizvoljni realni brojevi. Dokaži da je barem jedan od brojeva $$\left(a+b+c\right)^2 - 9ab \text{,} \quad \left(a+b+c\right)^2 - 9bc \text{,} \quad \left(a+b+c\right)^2 - 9ca$$ nenegativan.

%V0 Nađite realna rješenja sustava jednadžbi: $$$\begin{gather*} x + y + z = 2\\ \left(x + y\right)\left(y + z\right) + \left(y + z\right)\left(z + x\right) + \left(z + x\right)\left(x + y\right) = 1\\ x^{2}\left(y + z\right) + y^2\left(z+x\right) + z^2\left(x+y\right) = -6 \text{.} \end{gather*} $$$

%V0 Neka su $a$, $b$, $c$ realni brojevi koji nisu svi jednaki, takvi da vrijedi $$a+\frac1b=b+\frac1c=c+\frac1a \text{.}$$ Dokaži da je $\displaystyle a+\frac1b=-abc$.

%V0 Riješite sustav jednadžbi $$$\begin{equation*} \setlength{\arraycolsep}{2pt} \begin{array}{lclclcl} 2x_{1} &- &5x_{2} &+ &3x_{3} &= &0\\ 2x_{2} &- &5x_{3} &+ &3x_{4} &= &0\\ &&&&&\vdots\\ 2x_{1993} &- &5x_{1994} &+ &3x_{1} &= &0\\ 2x_{1994} &- &5x_{1} &+ &3x_{2} &= &0 \text{.} \end{array} \end{equation*}$$$