« Vrati se

Teorem 1 (Homogena linearna diofantska jednadžba): Diofantska jednadžba oblika ax + by = 0 gdje su a, b\in \mathbb{Z}, a \neq 0, b \neq 0 ima beskonačno mnogo cjelobrojnih rješenja, takvih da su (x, y) = \left(\dfrac{tb}{M(a, b)}, \dfrac{-ta}{M(a, b)} \right), \ t \in \mathbb{Z}

Teorem 2 (Linearna diofantska jednadžba): Diofantska jednadžba oblika ax + by = c gdje su a, b, c \in \mathbb{Z}, a \neq 0, b \neq 0 ima cjelobrojna rješenja ako i samo ako M(a, b) dijeli c. Tada ih ima beskonačno mnogo. Također, sva su rješenja oblika zbroja jednog partikularnog i skupa rješenja homogenog.

PRIMJER 1:

Riješimo homogenu diofantsku jednadžbu 3x + 5y = 0.

RJEŠENJE:

Izrazimo jednu nepoznanicu pomoću druge: 3x = -5y. Budući da je x cijeli broj, y mora biti djeljiv s 3, tj. y je oblika y = 3t gdje je t neki cijeli broj. Iz toga dobivamo da je x = -5t. Dobili smo da su rješenja početne jednadžbe svi uređeni parovi (-5t, 3t), t \in \mathbb{Z}.

PRIMJER 2:

Riješimo diofantsku jednadžbu 3x + 5y = 7.

RJEŠENJE:

Pokušajmo pronaći neki par (x_0, y_0) koji zadovoljava jednadžbu. Pogađanjem možemo naći uređen par (-1, 2) što nam je zapravo jedno partikularno rješenje naše diofantske jednadžbe.

Promatrajmo sada homogenu jednadžbu 3x + 5y = 0. Iz prethodnog primjera znamo da su rješenja te jednadžbe svi uređeni parovi (-5t, 3t), gdje je t \in \mathbb{Z}.
Iz Teorema 1.3. zaključujemo da su rješenja opće jednadžbe parovi (-1 - 5t, 2 + 3t),\ t \in \mathbb{Z}.

Zadatci za samostalno rješavanje

1. Riješi homogenu diofantsku jednadžbu: 4x - 10y = 0.

2. Riješi diofantsku jednadžbu: 6x - 10y = 8.

3. Riješi diofantsku jednadžbu: 9999x - 99999y = 37373747.

Slični zadaci