Cilj metode kvocijenata je izraziti jednu nepoznanicu u potpunosti preko druge, i onda komentirati slučajeve kada je izraz cijeli broj.
Lema 1(Zatvorenost na zbrajanje i oduzimanje): Skup cijelih brojeva zatvoren je i s obzirom na zbrajanje i oduzimanje, tj. ukoliko cijelom broju oduzmemo ili pribrojimo drugi cijeli broj, rezultat će i dalje biti cijeli broj. Specijalan slučaj ovoga je: ![A \pm \frac{B}{P(x)} \in \mathbb{Z} \Longrightarrow \frac{B}{P(x)} \in \mathbb{Z} \Longrightarrow P(x) \mid B](/media/m/2/f/f/2ffed2619b01fed03622ff60773c8098.png)
PRIMJER 1:
Riješi diofantsku jednadžbu
.
RJEŠENJE:
. Sada vidimo da je
jer mora biti djelitelj od 2 kako bi razlomak bio cjelobrojan, pa je
i (daljnjim uvrštavanjem)
.
PRIMJER 2:
Riješi diofantsku jednadžbu: ![xy + 3y^2 = 11](/media/m/d/f/8/df8f8401fd8989ae7d1409fe867ec4b0.png)
RJEŠENJE:
pa je
, što daje rješenja redom
.
Zadatci za samostalno rješavanje
1. (Školsko 2019. SŠ1 5.) Odredi sve parove
cijelih brojeva za koje vrijedi ![mn + 5m + 2n = 121](/media/m/b/a/8/ba8d105e734a2698109f86bda2f67f02.png)
2 (Državno 1998. SŠ1 2.) Nađite sve prirodne brojeve
i
koji zadovoljavaju jednadžbu:
Cilj metode kvocijenata je izraziti jednu nepoznanicu u potpunosti preko druge, i onda komentirati slučajeve kada je izraz cijeli broj.
\textbf{Lema 1}(Zatvorenost na zbrajanje i oduzimanje): Skup cijelih brojeva zatvoren je i s obzirom na zbrajanje i oduzimanje, tj. ukoliko cijelom broju oduzmemo ili pribrojimo drugi cijeli broj, rezultat će i dalje biti cijeli broj. Specijalan slučaj ovoga je: $$A \pm \frac{B}{P(x)} \in \mathbb{Z} \Longrightarrow \frac{B}{P(x)} \in \mathbb{Z} \Longrightarrow P(x) \mid B$$
PRIMJER 1:
Riješi diofantsku jednadžbu $xy + 2y = x$.
RJEŠENJE:
$y(x+2) = x \Longleftrightarrow y = \dfrac{x}{x+2} = 1 - \dfrac{2}{x + 2}$. Sada vidimo da je $x + 2 \in (1, -1, 2, -2)$ jer mora biti djelitelj od 2 kako bi razlomak bio cjelobrojan, pa je $x \in \{-1, -3, 0, -4\}$ i (daljnjim uvrštavanjem) $y \in \{-1, 3, 0, 2\}$.
PRIMJER 2:
Riješi diofantsku jednadžbu: $xy + 3y^2 = 11$
RJEŠENJE:
$xy = -3y^2 + 11 \Longleftrightarrow x = \dfrac{-3y^2 + 11}{y}= -3y + \dfrac{11}{y}$ pa je $y \in \{1, -1, 11, -11\}$, što daje rješenja redom $x \in \{8, -8, -32, 32\}$.
\textbf{Zadatci za samostalno rješavanje}
1. (Školsko 2019. SŠ1 5.) Odredi sve parove $(m, n)$ cijelih brojeva za koje vrijedi $$mn + 5m + 2n = 121$$
2 (Državno 1998. SŠ1 2.) Nađite sve prirodne brojeve $m$ i $n$ koji zadovoljavaju jednadžbu: $$10(m + n)=mn$$