Školjka

Cilj metode kvocijenata je izraziti jednu nepoznanicu u potpunosti preko druge, i onda komentirati slučajeve kada je izraz cijeli broj. \textbf{Lema 1}(Zatvorenost na zbrajanje i oduzimanje): Skup cijelih brojeva zatvoren je i s obzirom na zbrajanje i oduzimanje, tj. ukoliko cijelom broju oduzmemo ili pribrojimo drugi cijeli broj, rezultat će i dalje biti cijeli broj. Specijalan slučaj ovoga je: $$A \pm \frac{B}{P(x)} \in \mathbb{Z} \Longrightarrow \frac{B}{P(x)} \in \mathbb{Z} \Longrightarrow P(x) \mid B$$ PRIMJER 1: Riješi diofantsku jednadžbu $xy + 2y = x$. RJEŠENJE: $y(x+2) = x \Longleftrightarrow y = \dfrac{x}{x+2} = 1 - \dfrac{2}{x + 2}$. Sada vidimo da je $x + 2 \in (1, -1, 2, -2)$ jer mora biti djelitelj od 2 kako bi razlomak bio cjelobrojan, pa je $x \in \{-1, -3, 0, -4\}$ i (daljnjim uvrštavanjem) $y \in \{-1, 3, 0, 2\}$. PRIMJER 2: Riješi diofantsku jednadžbu: $xy + 3y^2 = 11$ RJEŠENJE: $xy = -3y^2 + 11 \Longleftrightarrow x = \dfrac{-3y^2 + 11}{y}= -3y + \dfrac{11}{y}$ pa je $y \in \{1, -1, 11, -11\}$, što daje rješenja redom $x \in \{8, -8, -32, 32\}$. \textbf{Zadatci za samostalno rješavanje} 1. (Školsko 2019. SŠ1 5.) Odredi sve parove $(m, n)$ cijelih brojeva za koje vrijedi $$mn + 5m + 2n = 121$$ 2 (Državno 1998. SŠ1 2.) Nađite sve prirodne brojeve $m$ i $n$ koji zadovoljavaju jednadžbu: $$10(m + n)=mn$$