« Vrati se

Cilj metode kvocijenata je izraziti jednu nepoznanicu u potpunosti preko druge, i onda komentirati slučajeve kada je izraz cijeli broj.

Lema 1(Zatvorenost na zbrajanje i oduzimanje): Skup cijelih brojeva zatvoren je i s obzirom na zbrajanje i oduzimanje, tj. ukoliko cijelom broju oduzmemo ili pribrojimo drugi cijeli broj, rezultat će i dalje biti cijeli broj. Specijalan slučaj ovoga je: A \pm \frac{B}{P(x)} \in \mathbb{Z} \Longrightarrow \frac{B}{P(x)} \in \mathbb{Z} \Longrightarrow P(x) \mid B

PRIMJER 1:

Riješi diofantsku jednadžbu xy + 2y = x.

RJEŠENJE:

y(x+2) = x \Longleftrightarrow y = \dfrac{x}{x+2} = 1 - \dfrac{2}{x + 2}. Sada vidimo da je x + 2 \in (1, -1, 2, -2) jer mora biti djelitelj od 2 kako bi razlomak bio cjelobrojan, pa je x \in \{-1, -3, 0, -4\} i (daljnjim uvrštavanjem) y \in \{-1, 3, 0, 2\}.

PRIMJER 2:

Riješi diofantsku jednadžbu: xy + 3y^2 = 11

RJEŠENJE:

xy = -3y^2 + 11 \Longleftrightarrow x = \dfrac{-3y^2 + 11}{y}= -3y + \dfrac{11}{y} pa je y \in \{1, -1, 11, -11\}, što daje rješenja redom x \in \{8, -8, -32, 32\}.

Zadatci za samostalno rješavanje

1. (Školsko 2019. SŠ1 5.) Odredi sve parove (m, n) cijelih brojeva za koje vrijedi mn + 5m + 2n = 121

2 (Državno 1998. SŠ1 2.) Nađite sve prirodne brojeve m i n koji zadovoljavaju jednadžbu: 10(m + n)=mn

Slični zadaci