Školjka

Metoda posljednje znamenke je samo poseban slučaj \textit{metode kongruencija} kojom ćemo se pozabaviti neki drugi put koristeći kao uvod predavanje s ovogodišnje Ljetne škole: \url{https://drive.google.com/drive/folders/170lvUaNcIh_BsNTtRsrZHARXhKRW2-4t?usp=sharing} PRIMJER 1: Riješi diofantsku jednadžbu $x^2 + 10y = 1234567$. RJEŠENJE: Kvadrat cijelog broja može završavati jednom od znamenaka 0, 1, 4, 5, 6 ili 9. S obzirom da $10y$ završava znamenkom 0, zadnja znamenka od $x^2+10y$ može biti 0, 1, 4, 5, 6 ili 9. Kako broj s desne strane jednakosti završava znamenkom 7, zadana jednadžba nema cjelobrojnih rješenja. PRIMJER 2: Riješimo diofantsku jednadžbu $x^2 + 5y = 37191834641769123$. RJEŠENJE: Budući da kvadrat cijelog broja završava sa znamenkom 0, 1, 4, 5, 6, ili 9,a broj $5y$ sa znamenkom 0 ili 5, slijedi da zbroj na lijevoj strani završava s 0, 1, 4, 5, 6, ili 9, a nikako s 3. Dakle, zadana diofantska jednadžba nema rješenja. \textbf{Zadatci za samostalno rješavanje} 1. Nađi sve parove prirodnih brojeva $(a, b)$ takvih da vrijedi: $$6^a + 5^b = 3737 \dots 3747 \hspace{10mm} \text{(ukupno 37 puta se ponavlja 37).}$$ 2. Nađite cjelobrojna rješenja jednadžbe: $5^x + y^4 = 194482$.