« Vrati se

PRIMJER 1: Odredi zbroj: \dfrac{1}{1 \cdot 2} + \dfrac{1}{2 \cdot 3} + \dots \dfrac{1}{99 \cdot 100}.

RJEŠENJE:

Zapišimo neki općeniti član tog niza: \frac{1}{n \cdot (n+1)}. Taj razlomak želimo rastaviti na neke razlomke \frac{A}{n} + \frac{B}{n+1}. Rješavanjem sustava jednadžbi za konkretne vrijednosti n (npr. n=1 i n=2) dobivamo A=1, B=-1. Sada samo trebamo izračunati zbroj: \dfrac{1}{1 \cdot 2} + \dfrac{1}{2 \cdot 3} + \dots \dfrac{1}{99 \cdot 100} = \left(\frac{1}{1} - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \dots + \left(\frac{1}{99} - \frac{1}{100}\right) = \frac{1}{1} - \frac{1}{100} = \frac{99}{100}

PRIMJER 2: Neka je n \in \mathbb{N} takav da je n>10. Izračunaj sljedeći umnožak: \frac{2^2-1}{2^2+3\cdot 2+2} \cdot \frac{3^2-1}{3^2+3\cdot 3+2} \cdot \ldots \cdot \frac{n^2-1}{n^2+3n+2} = \prod_{k=2}^n \frac{k^2-1}{k^2+3k+2}

RJEŠENJE:

Primijetimo da za svaki k \in \mathbb{N} vrijedi \frac{k^2-1}{k^2+3k+2} = \frac{(k-1)(k+1)}{(k+1)(k+2)} = \frac{k-1}{k+2} Sada je naš umnožak jednak \frac{2-1}{2+2}\cdot \frac{3-1}{3+2} \cdot \frac{4-1}{4+2}\cdot \ldots \cdot \frac{n-1}{n+2} = \frac{1}{4}\cdot \frac{2}{5}\cdot \frac{3}{6}\cdot \ldots \cdot \frac{n-1}{n+2} Primijetimo da će se pokratiti svi brojnici i nazivnici koji su veći od 3 i manji od n, tako da ostaje \frac{1\cdot 2\cdot 3}{n(n+1)(n+2)} = \frac{6}{n(n+1)(n+2)}

OPREZ: Uvjet n>10 nam je trebao da ne bismo imali preklapanja brojeva koji se nisu pokratili.
Na primjer, za n=3 ne postoje brojnici niti nazivnici koji su veći od 3 i manji od n, pa
treba zasebno argumentirati takav slučaj.

Slični zadaci