Slični zadaci

Županijsko natjecanje 2004 SŠ3 3

Neka je $ABC$ pravokutni trokut s katetama duljina $a$ i $b$ i hipotenuzom duljine $c$ , a $\angle BCA=90^\circ$ . Neka je $k$ tom trokutu opisana kružnica, $k_1$ kružnica koja dodiruje hipotenuzu, visinu $\overline{CD}$ i luk $\widehat{BC}$ kružnice $k$ ; te $k_2$ kružnica koja dodiruje hipotenuzu, visinu $\overline{CD}$ i luk $\widehat{AC}$ kružnice $k$ . Ako su $r_1$ i $r_2$ polumjeri kružnica $k_1$ i $k_2$ dokažite da je $r_1+r_2=a+b-c.$

Slični zadaci

Lista Tekst Dva stupca

Zadaci

Županijsko natjecanje 2008 SŠ3 3

Visina, simetrala kuta i težišnica povučene iz jednog vrha trokuta dijele kut na četiri jednaka dijela. Odredi kutove trokuta.

Županijsko natjecanje 2006 SŠ3 1

Za duljine $a$ , $b$ kateta pravokutnog trokuta vrijedi $\log\dfrac{a-b}{2}=\dfrac{1}{2}\,(\log a+\log b-\log 2).$ Odredi šiljaste kutove tog trokuta.

Županijsko natjecanje 2005 SŠ3 4

Trokut $ABC$ je šiljastokutan. Za bilo koju točku $T$ iz unutrašnjosti ili s ruba trokuta $ABC$ , točke $T_a$ , $T_b$ , $T_c$ su redom nožišta okomica iz $T$ na stranice $\overline{BC}$ , $\overline{CA}$ , $\overline{AB}$ . Ako je $f(T)=\dfrac{|AT_c|+|BT_a|+|CT_b|}{|TT_a|+|TT_b|+|TT_c|},$ dokažite da $f(T)$ ne ovisi o izboru točke $T$ ako i samo ako je trokut $ABC$ jednakostraničan.

Županijsko natjecanje 1997 SŠ3 2

U trokutu $ABC$ povučene su simetrale $AD$ i $BE$ kutova $\angle CAB$ i $\angle ABC$ ( $D$ i $E$ su točke na stranicama $\overline{BC}$ i $\overline{AC}$ ). Nađite kut $\gamma = \;\angle BCA$ ako je $|AD|\cdot |BC| = |BE|\cdot |AC|\;$ i $\;|AC|\ne |BC|.$

Županijsko natjecanje 1996 SŠ3 2

Na stranici $\overline{BC}$ trokuta $ABC$ leže redom točke $N$ , $L$ i $M$ , pri čemu je $\overline{AN}$ visina, $AL$ simetrala kuta $\angle CAB$ i $\overline{AM}$ težišnica. Ako je $\angle NAB=\angle LAN=\angle MAL=\angle CAM$ , odredite kutove trokuta.

Županijsko natjecanje 1995 SŠ3 4

Dan je pravokutni trokut $ABC$ . Točka $D$ je polovište hipotenuze $\overline{AB}$ , $F$ je polovište stranice $\overline{AC}$ , $E$ je polovište od $\overline{CF}$ i $G$ je polovište od $\overline{FA}.$ Dužina $\overline{CD}$ siječe $\overline{BE}, \overline{BF}$ i $\overline{BG}$ redom u točkama $P$ , $Q$ i $R$ . Koliki je omjer $\dfrac{|PQ|}{|QR|}?$