Školjka

%V0 Ako za kutove $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ nekog trokuta vrijedi $\cos \gamma=2\sin\alpha\sin\beta-1$, dokaži da je taj trokut jednakokračan.

%V0 Dokaži da u trokutu $ABC$ s duljinama stranica $a$, $b$, $c$, kutovima $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ i poluopsegom $s$ vrijedi jednakost $$ s^2 = b^2\cos^2\frac{\gamma}2 + c^2\cos^2\frac{\beta}2 + 2bc\cos\frac{\beta}2\cos\frac{\gamma}2\cos\frac{\beta+\gamma}2 \text{.} $$

%V0 Trokut $ABC$ je šiljastokutan. Za bilo koju točku $T$ iz unutrašnjosti ili s ruba trokuta $ABC$, točke $T_a$, $T_b$, $T_c$ su redom nožišta okomica iz $T$ na stranice $\overline{BC}$, $\overline{CA}$, $\overline{AB}$. Ako je $$ f(T)=\dfrac{|AT_c|+|BT_a|+|CT_b|}{|TT_a|+|TT_b|+|TT_c|}, $$ dokažite da $f(T)$ ne ovisi o izboru točke $T$ ako i samo ako je trokut $ABC$ jednakostraničan.

%V0 Točka $P$ nalazi se unutar trokuta $ABC$ tako da je $\angle PAB=\angle PBC=\angle PCA=\varphi$. Ako su $\alpha $, $\beta $ i $\gamma $ kutovi trokuta, dokažite da je $$ \dfrac{1}{\sin ^2\varphi }=\dfrac{1}{\sin ^2\alpha }+ \dfrac{1}{\sin ^2\beta }+\dfrac{1}{\sin ^2\gamma }. $$

%V0 U trokutu $ABC$ povučene su simetrale $AD$ i $BE$ kutova $\angle CAB$ i $\angle ABC$ ($D$ i $E$ su točke na stranicama $\overline{BC}$ i $\overline{AC}$). Nađite kut $\gamma = \;\angle BCA$ ako je $|AD|\cdot |BC| = |BE|\cdot |AC|\;$ i $\;|AC|\ne |BC|.$

%V0 Na stranici $\overline{BC}$ trokuta $ABC$ leže redom točke $N$, $L$ i $M$, pri čemu je $\overline{AN}$ visina, $AL$ simetrala kuta $\angle CAB$ i $\overline{AM}$ težišnica. Ako je $\angle NAB=\angle LAN=\angle MAL=\angle CAM$, odredite kutove trokuta.