Školjka

%V0 Visina, simetrala kuta i težišnica povučene iz jednog vrha trokuta dijele kut na četiri jednaka dijela. Odredi kutove trokuta.

%V0 Trokut $ABC$ je šiljastokutan. Za bilo koju točku $T$ iz unutrašnjosti ili s ruba trokuta $ABC$, točke $T_a$, $T_b$, $T_c$ su redom nožišta okomica iz $T$ na stranice $\overline{BC}$, $\overline{CA}$, $\overline{AB}$. Ako je $$ f(T)=\dfrac{|AT_c|+|BT_a|+|CT_b|}{|TT_a|+|TT_b|+|TT_c|}, $$ dokažite da $f(T)$ ne ovisi o izboru točke $T$ ako i samo ako je trokut $ABC$ jednakostraničan.

%V0 Težište tetraedra $ABCD$ je točka $T$ čiji je radijus-vektor dan sa $$ \displaystyle{\vec{r}_T= \frac{1}{4}(\vec{r}_A+\vec{r}_B+\vec{r}_C+\vec{r}_D)}. $$ Ako je težište jednako udaljeno od vrhova $A$ i $B$, dokažite da je $$ |AC|^2+|AD|^2=|BC|^2+|BD|^2. $$

%V0 U tetraedru $SABC$ poznati su kutovi između pobočnih bridova: $\angle BSC = \alpha $, $\angle CSA = \beta $ i $\angle ASB = \gamma.$ Odredite kutove između pobočaka.

%V0 U trokutu $ABC$ povučene su simetrale $AD$ i $BE$ kutova $\angle CAB$ i $\angle ABC$ ($D$ i $E$ su točke na stranicama $\overline{BC}$ i $\overline{AC}$). Nađite kut $\gamma = \;\angle BCA$ ako je $|AD|\cdot |BC| = |BE|\cdot |AC|\;$ i $\;|AC|\ne |BC|.$

%V0 Na stranici $\overline{BC}$ trokuta $ABC$ leže redom točke $N$, $L$ i $M$, pri čemu je $\overline{AN}$ visina, $AL$ simetrala kuta $\angle CAB$ i $\overline{AM}$ težišnica. Ako je $\angle NAB=\angle LAN=\angle MAL=\angle CAM$, odredite kutove trokuta.