Slični zadaci

Županijsko natjecanje 2005 SŠ3 4

Trokut $ABC$ je šiljastokutan. Za bilo koju točku $T$ iz unutrašnjosti ili s ruba trokuta $ABC$ , točke $T_a$ , $T_b$ , $T_c$ su redom nožišta okomica iz $T$ na stranice $\overline{BC}$ , $\overline{CA}$ , $\overline{AB}$ . Ako je $f(T)=\dfrac{|AT_c|+|BT_a|+|CT_b|}{|TT_a|+|TT_b|+|TT_c|},$ dokažite da $f(T)$ ne ovisi o izboru točke $T$ ako i samo ako je trokut $ABC$ jednakostraničan.

Slični zadaci

Lista Tekst Dva stupca

Zadaci

Županijsko natjecanje 2011 SŠ3 3

Dan je trokut $ABC$ . Simetrala kuta $\angle CAB$ siječe stranicu $\overline{BC}$ u točki $D$ , a simetrala kuta $\angle ABC$ siječe stranicu $\overline{AC}$ u točki $E$ . Ako je $\angle ACB \ge 60^\circ$ , dokaži da je $|AE|+|BD|\le |AB|$ .

Županijsko natjecanje 2011 SŠ3 1

Ako za kutove $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ nekog trokuta vrijedi $\cos \gamma=2\sin\alpha\sin\beta-1$ , dokaži da je taj trokut jednakokračan.

Županijsko natjecanje 2010 SŠ3 4

Nad stranicama trokuta $ABC$ površine $P$ nalaze se rombovi $ABED$ , $BCGF$ i $CAIH$ tako da je $\angle ABE=\angle BAC$ , $\angle BCG=\angle CBA$ , $\angle CAI=\angle ACB$ .

Dokaži da je zbroj površina triju rombova veći ili jednak $6 P$ .
Dokaži da se jednakost postiže ako i samo ako je trokut $ABC$ jednakostraničan.

Županijsko natjecanje 2010 SŠ3 3

Neka su $A'$ , $B'$ , $C'$ točke u kojima simetrale kutova trokuta $ABC$ sijeku nasuprotne stranice $\overline{BC}$ , $\overline{CA}$ , $\overline{AB}$ redom i neka je $S$ središte upisane kružnice trokuta $ABC$ .

Ako je $|AS| : |SA'| = 3 : 2$ , $|BS| : |SB'| = 4 : 3$ i ako je $|AB|=12$ , odredi duljine ostalih stranica trokuta.

Županijsko natjecanje 2007 SŠ3 4

Dokaži da u trokutu $ABC$ s duljinama stranica $a$ , $b$ , $c$ , kutovima $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ i poluopsegom $s$ vrijedi jednakost $s^2 = b^2\cos^2\frac{\gamma}2 + c^2\cos^2\frac{\beta}2 + 2bc\cos\frac{\beta}2\cos\frac{\gamma}2\cos\frac{\beta+\gamma}2 \text{.}$

Županijsko natjecanje 2005 SŠ3 2

U trokutu s kutovima $\alpha$ , $\beta$ i $\gamma$ vrijedi jednakost $\sin^2\alpha +\sin^2\beta =\sin\gamma.$ Ako je poznato da su kutovi $\alpha$ i $\beta$ šiljasti, dokažite da je kut $\gamma$ pravi.