Školjka

%V0 Niz $(a_n)$ zadan je rekurzivno: $$ a_1=1, \quad a_2=3, \qquad a_n=a_{n-1}+a_{n-2} \ \text{ za } \ n\geq 3. $$ Dokaži da vrijedi nejednakost $a_n<\left(\dfrac{7}{4}\right)^n$ za sve $n \in \mathbb{N}$.

%V0 Ako je $x_{1} = 1$ i $x_{n+1} = \dfrac{1}{1 + x_{n}}$ za svaki $n \in \mathbb{N}$, dokažite da je $$ x^{2}_{1994} + x_{1994} < 1. $$

%V0 Ivica mjeri svoju visinu na kraju svake školske godine. Do kraja osmog razreda osnovne škole visina je rasla kao aritmetički niz, a od tada kao geometrijski niz. Dokažite da Ivica u prvom razredu osnovne škole nije bio viši od $120$ cm, ako je na kraju sedmog razreda imao $154$ cm, na kraju prvog razreda srednje škole $165$ cm, a na kraju trećeg razreda srednje škole $176$ cm. [i]Napomena:[/i] Nije dozvoljeno koristiti kalkulator!

%V0 Dokažite da za svaki prirodni broj $n$ vrijedi jednakost $$ 3a_1+5a_2+7a_3+\ldots+(2n+1)a_n =(n+1)^2a_n -\dfrac{1}{2}n(n+1), $$ ako je $ {a_k=1+\dfrac{1}{2}+\ldots+\dfrac{1}{k}}$, za svaki prirodni broj $k$.

%V0 Neka su $a$, $b$, $c$ pozitivni realni brojevi za koje vrijedi $a+b+c=abc$. Dokaži da vrijedi $$ a^5\left(bc-1\right)+b^5\left(ca-1\right)+c^5\left(ab-1\right)\ge 54\sqrt{3}. $$

%V0 Neka su $x$, $y$, $z$ pozitivni realni brojevi za koje vrijedi $x^3+y^3+z^3=1$. Dokaži da je tada $$ x^2+y^2+z^2 > x^5+y^5+z^5+2x^2y^2z^2(x+y+z). $$