Školjka

Funkcija $U:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ definira se na sljedeći način: \[ U(n)=\left\{ \begin{array}{ll} 1, & \text{za }n = 1,\\[1mm] \alpha_1^{p_1} \cdot \ldots \cdot \alpha_k^{p_k}, & \text{za }n = p_1^{\alpha_1}\ldots p_k^{\alpha_k}, \text{gdje su } p_1, \ldots, p_k \text{ međusobno }\\ & \text{različiti prosti brojevi i }\alpha_1,\dots, \alpha_k \in\mathbb{N}. \end{array} \right. \] Za $m\in \mathbb{N}$ neka je $U^{(m)}(n)= U (U(\dotsb U(n)\dotsb) ) $, pri čemu se $U$ primjenjuje $m$ puta. Dokaži da za svaki prirodni broj $A$ postoji prirodni broj $B$ takav da je $U^{(m)}(A)=B$ za beskonačno mnogo prirodnih brojeva $m$.