Školjka

%V0 U skupu kompleksnih brojeva riješi jednadžbe $a)$ $z^3=\overline{z}$ $b)$ $z^5=\overline{z}$.

%V0 Odredi sve prirodne brojeve $n$ za koje je polinom $(x+1)^n-x^n-1$ djeljiv s $x^2+x+1$.

%V0 Za realan broj $x$ definiraju se: najveće cijelo od $x$, $\lfloor x \rfloor$ je najveći cijeli broj koji nije veći od $x$ i decimalni dio od $x$, $\{x\}=x-\lfloor x\rfloor$. Npr.\ $\lfloor 3.14\rfloor =3$, $\{3.14\}=0.14$, $\lfloor -2.4 \rfloor =-3$, $\{-2.4\}=0.6$. Odredi sve pozitivne brojeve $x$ za kojeg su $\{x\}$, $\lfloor x \rfloor $ i $x$ tri uzastopna člana geometrijskog niza.

%V0 Niz $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ zadan je rekurzivno: $$ \begin{array}{rcl} a_1&=&1\\ a_n&=&{4n-2\over n} \,\,\, a_{n-1},\quad n\ge 2 \, . \end{array} $$ Dokažite da su svi članovi tog niza prirodni brojevi.

%V0 Za svaki prirodan broj $n$ funkcija $f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}$ zadovoljava uvjet $$ f(1)+f(2)+\ldots +f(n)=n^2f(n). $$ Ako je $f(1)=1002$, odredite $f(2004)$.

%V0 Dokažite da je za svaki prirodan broj $n$, broj $(\tg 15^\circ)^n+(\ctg 15^\circ)^n$ paran prirodan broj.