Školjka

%V0 Neka su $a$, $b$, $c$ kompleksni brojevi za koje vrijedi $$ a+b+c=0, \qquad ab+bc+ca=0.$$ Dokaži da je $|a|=|b|=|c|$.

%V0 Pronađi sve prirodne brojeve $n$, takve da neka tri uzastopna koeficijenta razvoja $(a+b)^n$ čine aritmetički niz.

%V0 Nađi međusobne omjere realnih brojeva $x$, $y$, $z$ ako uz zadane brojeve $a$, $b$, $c$, $abc\ne-1$, vrijede jednakosti $$ x+by=y+cz=z+ax. $$

%V0 Za realan broj $x$ definiraju se: najveće cijelo od $x$, $\lfloor x \rfloor$ je najveći cijeli broj koji nije veći od $x$ i decimalni dio od $x$, $\{x\}=x-\lfloor x\rfloor$. Npr.\ $\lfloor 3.14\rfloor =3$, $\{3.14\}=0.14$, $\lfloor -2.4 \rfloor =-3$, $\{-2.4\}=0.6$. Odredi sve pozitivne brojeve $x$ za kojeg su $\{x\}$, $\lfloor x \rfloor $ i $x$ tri uzastopna člana geometrijskog niza.

%V0 Dokažite da za svaki aritmetički niz $(a_n)$ vrijedi jednakost $$ a_1 - \binom{n}{1} a_2 + \binom{n}{2} a_3 - \ldots + (-1)^{n-1} \binom{n}{n-1} a_n + (-1)^n a_{n+1}=0,\, n \ge 2 \text{.} $$

%V0 Riješite nejednadžbu $$ \log 2^2+\log 3^{1+\dfrac{1}{2x}}-\log \left(3^{\dfrac{1}{x}}+3^3\right)>0. $$