Školjka

%V0 Dan je tetivni četverokut $ABCD$. Simetrala dužine $\overline{BC}$ siječe dužinu $\overline{AB}$ u točki $E$. Kružnica koja prolazi točkom $E$, vrhom $C$ i polovištem $F$ stranice $\overline{BC}$ siječe dužinu $\overline{CD}$ u točki $G$. Dokaži da su pravci $AD$ i $FG$ međusobno okomiti.

%V0 Na polupravcima $p$ i $q$ sa zajedničkim početkom $O$ dane su točke $A$ i $C$ (na $p$) te $B$ i $D$ (na $q$). Ako je pravac $CD$ paralelan s težišnicom trokuta $OAB$, dokažite da je pravac $AB$ paralelan s težišnicom trokuta $OCD$.

%V0 Iz jednog vrha šiljastokutnog trokuta povučena je visina, iz drugog težišnica, a iz trećeg simetrala kuta. Ta tri pravca ne prolaze istom točkom, već njihove točke presjeka čine vrhove novog trokuta. Dokaži da novi trokut ne može biti jednakostraničan.

%V0 Duljine stranica trokuta su $a$, $b$ i $c$, a $R$ je duljina polumjera opisane mu kružnice. Odredite kutove trokuta ako vrijedi $R = \displaystyle \frac{a\sqrt{bc}}{b+c}$.

%V0 Spojnice središta trokutu upisane kružnice i njegovih vrhova dijele ga na tri trokuta od kojih je jedan sličan polaznome. Odredite kutove polaznog trokuta.

%V0 Dokažite da su težišnice iz vrhova $A$ i $B$ trokuta $ABC$ međusobno okomite ako i samo ako za duljine stranica vrijedi jednakost $$\left\vert BC \right\vert^2 + \left\vert AC \right\vert^2 = 5 \left\vert AB \right\vert^2 \text{.}$$