Školjka

%V0 Neka su $a$, $b$ i $c$ realni brojevi takvi da je $$a+b+c=3\qquad\text{i}\qquad \frac 1a + \frac 1b + \frac 1c= 0\text{.}$$ Koliko je $a^2+b^2+c^2$?

%V0 Ako su $a$, $b$ i $c$ realni brojevi za koje je $a+b\neq0$, $b+c\neq0$ i $a+c\neq0$, dokaži da izraz: $$ \left(1+\dfrac{c}{a+b}\right) \left( 1+\dfrac{a}{b+c}\right) \left( 1+\dfrac{b}{a+c}\right) -\dfrac{a^{3}+b^{3}+c^{3}} {\left(a+b\right) \left(b+c\right) \left(a+c\right)} $$ ne ovisi o vrijednostima brojeva $a$, $b$ i $c$.

%V0 Ako za realne brojeve $a$, $b$, $c$ vrijedi $$\frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} = 1\text{,}$$ dokažite da je $$\frac{a^2}{b+c} + \frac{b^2}{c+a} + \frac{c^2}{a+b} = 0\text{.}$$

%V0 Neka su $a$, $b$ i $c$ međusobno različiti realni brojevi, od kojih nijedan nije jednak nuli, i za koje je $a+b+c=0$. Dokažite da vrijedi: a) $\displaystyle{\frac{a^2}{bc}+\frac{b^2}{ca}+\frac{c^2}{ab}=3}$, b) $\displaystyle{\left(\frac{a-b}{c}+\frac{b-c}{a}+ \frac{c-a}{b}\right)\left(\frac{c}{a-b}+\frac{a}{b-c} +\frac{b}{c-a}\right)=9}$.

%V0 Ako su $x$, $y$ i $z$ pozitivni realni brojevi takvi da je $xyz=1$, dokažite da je vrijednost izraza $$\frac{x+1}{xy+x+1} + \frac{y+1}{yz+y+1} + \frac{z+1}{zx+z+1}$$ konstantna.

%V0 Jedna zagrebačka obitelj krenut će ove godine na ljetovanje na Jadran posljednjeg dana u mjesecu. Umnožak rednog broja dana polaska i rednog broja mjeseca povratka s brojem djece u obitelji te brojem dana ljetovanja je $14384$. Odredite datum povratka.