Školjka

%V0 Za koje vrijednosti parametra $\alpha $ je nejednakost $$ \sin^6x + \cos^6x + \alpha \sin x \cdot \cos x \geq 0 $$ zadovoljena za sve realne brojeve $x$ ?

%V0 Odredi najveći cijeli broj $n$ za koji vrijedi nejednakost $$3\left(n-\dfrac 53\right)-2(4n+1)>6n+5\text{.}$$

%V0 Ako je $x + y + z = 6$, $x,\,y,\,z \geqslant 0$, dokažite da je onda $x^2 + y^2 + z^2 \geqslant 12$.

%V0 Dokažite da za svaki prirodan broj $n$ vrijedi nejednakost $$\frac{\sqrt{2}}{3} + \frac{\sqrt{6}}{5} + \frac{\sqrt{12}}{7} + \ldots + \frac{\sqrt{n(n + 1)}}{2n + 1} < \frac{n}{2}\text{.}$$

%V0 Jedna zagrebačka obitelj krenut će ove godine na ljetovanje na Jadran posljednjeg dana u mjesecu. Umnožak rednog broja dana polaska i rednog broja mjeseca povratka s brojem djece u obitelji te brojem dana ljetovanja je $14384$. Odredite datum povratka.

%V0 Ako su $a$, $b$, $c$ pozitivni realni brojevi takvi da je $$ \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1, $$ dokažite nejednakost $$ (a-1)(b-1)(c-1)\geq 8. $$